Equazione differenziale, secondo grado non omogenea
Ciao a tutti,
stavo rivedendo una soluzione del mio prof. ad una differenziale 2° non omogenea, questa:
\(\displaystyle y''-y=e^xsin(x) \)
In pratica lui trova prima le soluzioni dell'omogenea associata, che sono due reali distinte: -1 e 1, quindi individua la base di soluzioni che è:
\(\displaystyle y_1=e^x, y_2=e^{-x} \)
e la soluzione generale dell'omogenea:
\(\displaystyle y(x)=C_1e^x+c_2e^{-x} \)
e fino a questo punto, fa esattamente tutto come sono abituato a fare anche io.
La differenza sta nel passaggio successivo, ovvero "Cerchiamo una soluzione particolare nella forma:"
\(\displaystyle y_p(x)=e^x(Asin(x)+Bcos(x)) \)
Domanda: da dove escono fuori quel sin(x) e cos(x) ?? io ero abituato ad avere un sistema per l'equazione particolare, con le due funzioni C1(x) e C2(x) derivate, e poi sommare la soluzione dell'omogenea con la soluzione particolare trovata.
Sapete dirmi di quel sin(x) e cos(x)?
EDIT: e aggiungo, non capisco neanche quell'e^x che moltiplica il tutto.
Grazie!
Luca
stavo rivedendo una soluzione del mio prof. ad una differenziale 2° non omogenea, questa:
\(\displaystyle y''-y=e^xsin(x) \)
In pratica lui trova prima le soluzioni dell'omogenea associata, che sono due reali distinte: -1 e 1, quindi individua la base di soluzioni che è:
\(\displaystyle y_1=e^x, y_2=e^{-x} \)
e la soluzione generale dell'omogenea:
\(\displaystyle y(x)=C_1e^x+c_2e^{-x} \)
e fino a questo punto, fa esattamente tutto come sono abituato a fare anche io.
La differenza sta nel passaggio successivo, ovvero "Cerchiamo una soluzione particolare nella forma:"
\(\displaystyle y_p(x)=e^x(Asin(x)+Bcos(x)) \)
Domanda: da dove escono fuori quel sin(x) e cos(x) ?? io ero abituato ad avere un sistema per l'equazione particolare, con le due funzioni C1(x) e C2(x) derivate, e poi sommare la soluzione dell'omogenea con la soluzione particolare trovata.
Sapete dirmi di quel sin(x) e cos(x)?
EDIT: e aggiungo, non capisco neanche quell'e^x che moltiplica il tutto.
Grazie!
Luca
Risposte
La soluzione particolare è del tipo
$ e^(alpha x) P(x)cos ( beta x) + e^(alpha x) P(x)sin(beta x) $
$(e^x )A sen(x) x$
L ultima x c è perché alfa ha molteplicità due perché è anche una valore della soluzione omogenea.
A è un generico polinomio di grado uguale al polinomio di partenza
Quindi facendoti la derivata seconda sommata alla funzione che ti ho dato io il tutto posto uguale all'omogene dovrebbe darti un equazione che risolta ti da il valore di a.
Questa sarà la tua soluzione particolare.
Dovrebbe essere giusto ma non ci metto la mano sul fuoco.
$ e^(alpha x) P(x)cos ( beta x) + e^(alpha x) P(x)sin(beta x) $
$(e^x )A sen(x) x$
L ultima x c è perché alfa ha molteplicità due perché è anche una valore della soluzione omogenea.
A è un generico polinomio di grado uguale al polinomio di partenza
Quindi facendoti la derivata seconda sommata alla funzione che ti ho dato io il tutto posto uguale all'omogene dovrebbe darti un equazione che risolta ti da il valore di a.
Questa sarà la tua soluzione particolare.
Dovrebbe essere giusto ma non ci metto la mano sul fuoco.
dunque, l'unica cosa è che alpha nel mio caso non ha molteplicità due perché alpha = (-1,1) però hai ragione, la soluzione è, come mi hai detto tu, con la somma di seno e coseno. l'unica cosa che non mi spiego è perché da che erano e^x ed e^-x diventano entrambe e^x...
Ma no la soluzione omogenea ti rimane. e^x è soluzione solo della particolare. È una formula che ti mette a paragone una formula generale con la tua omogenea. Non so se mi sono spiegata
Se no hai capito dopo ti dico con più calma....
Se no hai capito dopo ti dico con più calma....
Si chiama metodo di somiglianza... Praticamente, se il termine noto della EDO appartiene ad una certa classe di funzioni, tale metodo ti fa trovare una soluzione particolare appartenente alla medesima classe con soli passaggi "algebrici" (cioé senza integrazioni).
Ne avevo scritto qui, ad esempio.
Ne avevo scritto qui, ad esempio.
Per esempio, in quest'altro caso:
\(\displaystyle y''+y=cos(x) \)
in cui lambda1,2 mi vengono -i e +i e dunque la soluzione dell'omogenea viene:
\(\displaystyle y=e^x(C_1cos(x)+C_2sin(x)) \)
posso ugualmente utilizzare il metodo della somiglianza? Quale sarebbe in questo caso la soluzione particolare da ricercare?
EDIT: oppure non posso utilizzarlo perché manca e^x nel termine noto? come procedo?
\(\displaystyle y''+y=cos(x) \)
in cui lambda1,2 mi vengono -i e +i e dunque la soluzione dell'omogenea viene:
\(\displaystyle y=e^x(C_1cos(x)+C_2sin(x)) \)
posso ugualmente utilizzare il metodo della somiglianza? Quale sarebbe in questo caso la soluzione particolare da ricercare?
EDIT: oppure non posso utilizzarlo perché manca e^x nel termine noto? come procedo?
Forse ho capito, ditemi se sbaglio, posso procedere con questa soluzione?:
\(\displaystyle y_p(x)=x[A*cos(x)+B*sin(x)] \)
\(\displaystyle y_p(x)=x[A*cos(x)+B*sin(x)] \)
La puoi applicare. Perché consideri $ e^(alpha x) $ con $alpha=o$ quindi $e^0 $ =1
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