Equazione differenziale - Ricerca soluzioni
Salve a tutti , ecco il mio problema (nel senso letterale del termine 
):
Trova tutte le soluzioni dell equazione differenziale :
$y'= (e^y + 1)/(x^2 + x - 12)$
Io ho provato a risolverla come un equazione differenziale a variabili separabili , porto $e^y + 1$ a denominatore e poi faccio l integrale di entrambi i membri.
A conti fatti esce un integrale scomponibile $1/(x^2 + x -12)$ a destra e a sinistra un integrale $1/(e^y + 1)$ che può essere risolto imponendo $T=e^y$ e $dT=e^y=T$.
Fatto questo passaggio riscrivo l integrale in $T/(T+1)$ e lo scompongo in $int 1 - 1/(t+1)$ e qui non sono più andato avanti.
EDIT : Avevo dimenticato di scrivere le soluzioni generali dopo la risoluzione degli integrali .
Abbiamo $e^y - log(e^y +1) = 1/7log(x-3) -1/7log(x+4)$ (spero sia giusto ho rifatto tutti i calcoli al momento).
Qui mi sono bloccato e non sono più riuscito ad andare avanti
Qualcuno può spiegarmi come continuare ed eventualmente dove ho sbagliato ?
Grazie in anticipo
):Trova tutte le soluzioni dell equazione differenziale :
$y'= (e^y + 1)/(x^2 + x - 12)$
Io ho provato a risolverla come un equazione differenziale a variabili separabili , porto $e^y + 1$ a denominatore e poi faccio l integrale di entrambi i membri.
A conti fatti esce un integrale scomponibile $1/(x^2 + x -12)$ a destra e a sinistra un integrale $1/(e^y + 1)$ che può essere risolto imponendo $T=e^y$ e $dT=e^y=T$.
Fatto questo passaggio riscrivo l integrale in $T/(T+1)$ e lo scompongo in $int 1 - 1/(t+1)$ e qui non sono più andato avanti.
EDIT : Avevo dimenticato di scrivere le soluzioni generali dopo la risoluzione degli integrali .
Abbiamo $e^y - log(e^y +1) = 1/7log(x-3) -1/7log(x+4)$ (spero sia giusto ho rifatto tutti i calcoli al momento).
Qui mi sono bloccato e non sono più riuscito ad andare avanti
Qualcuno può spiegarmi come continuare ed eventualmente dove ho sbagliato ?
Grazie in anticipo
Risposte
l' integrale è immediato ed è uguale a $t-ln(t+1)+c$
Oh , scusate ho dimenticato di scrivere una cosa nel post aggiorno subito
c'è un errore nell'integrale con la $t$ adesso scrivo meglio
ponendo
$e^y=t$
hai $y=ln t$
e $dy=1/t dt$
quindi
$int (dy)/(e^y+1)=int (dt)/(t(t+1)) = int (1/t - 1/(t+1)) dt = $
adesso riesci a proseguire da solo?
ponendo
$e^y=t$
hai $y=ln t$
e $dy=1/t dt$
quindi
$int (dy)/(e^y+1)=int (dt)/(t(t+1)) = int (1/t - 1/(t+1)) dt = $
adesso riesci a proseguire da solo?
e sì,bisogna calcolare $ dy=1/tdt$ in quanto $y=lnt$
quindi l'integrale da calcolare è quello di $1/tcdot1/(t+1)$
quindi l'integrale da calcolare è quello di $1/tcdot1/(t+1)$
"quantunquemente":
e sì,bisogna calcolare $ dy=1/tdt$ in quanto $y=lnt$
quindi l'integrale da calcolare è quello di $1/tcdot1/(t+1)$
ecco abbiamo risposto quasi insieme... ciao!
però c'è un segno "meno" non "per"
ciao mazzarri
grazie per la correzione,non avevo letto con sufficiente attenzione i passaggi precedenti
grazie per la correzione,non avevo letto con sufficiente attenzione i passaggi precedenti
Ahhhhhh , ecco dove avevo sbagliato.
Ho completato l integrale e la diff. in questo momento grazie ai vostri consigli
(chiamatemi stupido ma gli integrali per sostituzione per me sono una vera spina nel ****)
Grazie mille per le risposte
Ho completato l integrale e la diff. in questo momento grazie ai vostri consigli
(chiamatemi stupido ma gli integrali per sostituzione per me sono una vera spina nel ****)
Grazie mille per le risposte
ottimo ciao!!!
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