Equazione differenziale "semplice"

[zio_mangrovia]

C'e' un passaggio in fisica che non ricordo più, ahimè!!!
Mi potete aiutare a capire come si risolve questa equazione differenziale?

$d/(dt)(V_2-V_1)=-(2l^2B^2)/(Rm)(V_2-V_1)$

$d/(dt)(V_2+V_1)=0$

dopo vedo questo:

$V_2+V_1=V_0$
$V_2-V_1=-V_0 e^(-t/ \tau)$

$\tau=(Rm)/(2l^2B^2)$

[pilloeffe]

Ciao zio_mangrovia,

La prima è una semplice equazione differenziale a variabili separabili, per rendertene conto meglio poni $y(t) := V_2 - V_1 $ e lo vedi subito.
La seconda ci dice sostanzialmente che $d/dt (V_2 + V_1) = 0 \implies V_2 + V_1 = \text{costante} $ e la costante l'ha chiamata $V_0$

[zio_mangrovia]

"pilloeffe":Ciao zio_mangrovia,

La prima è una semplice equazione differenziale a variabili separabili, per rendertene conto meglio poni $y(t) := V_2 - V_1 $ e lo vedi subito.

Domanda stupida ma la faccio uguale: $V_2 - V_1$ sono variabili che dipendono da $t$ giusto? Per cui anche la loro differenza sarà correlata con $t$ ?
Devo rispolverare i metodi di risoluzione, se hai un link ben venga.
Grazie 1000

[pilloeffe]

"zio_mangrovia":$V_2−V_1 $ sono variabili che dipendono da $t $ gusto? Per cui anche la loro differenza sarà correlata con $t $ ?

Beh, almeno una delle due di sicuro, altrimenti non avrebbe senso l'equazione differenziale: poi cosa sono nel dettaglio dovresti dirmelo tu, io non so cosa stai studiando...
Comunque, procedendo come indicato si ha:

$(y'(t))/(y(t)) = - 1/\tau $

Questa integrata fornisce $ ln[y(t)] = - t/\tau + ln c \implies y(t) = c e^{-t/\tau} \implies y(t) = y(0) e^{-t/\tau} $
Dopodiché per motivi che onestamente ignoro è stato posto $y(0) := - V_0 $, per cui alla fine si ottiene proprio

$V_2 - V_1 = - V_0 e^{-t/\tau} $

"zio_mangrovia":Grazie 1000

Prego!

[zio_mangrovia]

perfettamente chiaro mi è più che sufficiente