Equazione differenziale. Problemi con un cambio di variabili
Salve a tutti. Ho un problema con un'equazione differenziale che non riesco a risolvere.
L'equazione è questa qui:
$u'(t) = u^2(t) + 1$
L'ho rigirata in mille modi ma non mi esce niente.
Allora ho cercato su internet, e ho trovato questa soluzione:
Soluzione: $u(t) = tg(t+C)$
Risoluzione: Dividendo per $1 + u^2$ e integrando si ha:
$\int \frac{dz}{1 + z^2} = \int frac{u'(t)dt}{1+u^2} = \int dz $
e poi, fa vedere che è una tangente.
Il problema è che non riesco proprio a capire:
Come fa $ \int frac{u'(t)dt}{1+u^2}$ a diventare $\int \frac{dz}{1 + z^2}$
Trasforma una funzione in una semplice variabile? ...Non mi torna...
E poi perché è stato messo $\int \frac{dz}{1 + z^2}$ prima di $ \int frac{u'(t)dt}{1+u^2}$ ? A me sembrerebbe logico fare il contrario (anche se ovviamente è equivalente). Cioè, io dapprima ho $ \int frac{u'(t)dt}{1+u^2}$ e poi con un qualche cambio di variabili che non ho capito lo cambio in $\int \frac{dz}{1 + z^2}$.
Ultima cosa: $ \int dz $ è uguale a $ \int dt $ ?
Grazie a tutti quelli che mi chiariranno un po' le idee!
L'equazione è questa qui:
$u'(t) = u^2(t) + 1$
L'ho rigirata in mille modi ma non mi esce niente.
Allora ho cercato su internet, e ho trovato questa soluzione:
Soluzione: $u(t) = tg(t+C)$
Risoluzione: Dividendo per $1 + u^2$ e integrando si ha:
$\int \frac{dz}{1 + z^2} = \int frac{u'(t)dt}{1+u^2} = \int dz $
e poi, fa vedere che è una tangente.
Il problema è che non riesco proprio a capire:
Come fa $ \int frac{u'(t)dt}{1+u^2}$ a diventare $\int \frac{dz}{1 + z^2}$
Trasforma una funzione in una semplice variabile? ...Non mi torna...
E poi perché è stato messo $\int \frac{dz}{1 + z^2}$ prima di $ \int frac{u'(t)dt}{1+u^2}$ ? A me sembrerebbe logico fare il contrario (anche se ovviamente è equivalente). Cioè, io dapprima ho $ \int frac{u'(t)dt}{1+u^2}$ e poi con un qualche cambio di variabili che non ho capito lo cambio in $\int \frac{dz}{1 + z^2}$.
Ultima cosa: $ \int dz $ è uguale a $ \int dt $ ?
Grazie a tutti quelli che mi chiariranno un po' le idee!
Risposte
La tecnica di risoluzione è la più classica nelle ODEs:
$\frac{d u}{d t}= u^2 +1 \to \frac{d u}{u^2+1} = dt \to \int frac{d u}{u^2+1} = \int dt \to \arctan u + C = t \to u(t)=tan( t- C)$
Nella risoluzione che hai trovato tu fa il cambio di variabile $z=u(t)$.
Gli integrali $\int dt, \int dz $ sono "equivalenti", usa solo due variabili di integrazione diverse.
Paola
$\frac{d u}{d t}= u^2 +1 \to \frac{d u}{u^2+1} = dt \to \int frac{d u}{u^2+1} = \int dt \to \arctan u + C = t \to u(t)=tan( t- C)$
Nella risoluzione che hai trovato tu fa il cambio di variabile $z=u(t)$.
Gli integrali $\int dt, \int dz $ sono "equivalenti", usa solo due variabili di integrazione diverse.
Paola
Proprio non mi sbloccavo! Non mi veniva naturale il cambio
$u(t) = z $ quindi
$u'(t)dt = dz $
e nemmeno che $u'(t) = frac{du}{dt} $
grazie per avermi chiarito le idee!
$u(t) = z $ quindi
$u'(t)dt = dz $
e nemmeno che $u'(t) = frac{du}{dt} $
grazie per avermi chiarito le idee!
Scusate tutti, ma ho ancora dei dubbi.
Per carità, il passaggio meccanico l'ho capito bene, ma è il senso di una cosa che mi sfugge:
In merito a questo:
$u(t) = z $
$u'(t)dt = dz $
Cosa mi da l'autorità di porre una funzione (dipendente da t) uguale a una variabile z, indipendente da t?
Per favore chiaritemi questo dilemma!
Grazie!
Per carità, il passaggio meccanico l'ho capito bene, ma è il senso di una cosa che mi sfugge:
In merito a questo:
$u(t) = z $
$u'(t)dt = dz $
Cosa mi da l'autorità di porre una funzione (dipendente da t) uguale a una variabile z, indipendente da t?
Per favore chiaritemi questo dilemma!
Grazie!
Ciao,
non mi sembra che $z$ sia indipendente da $t$; dal momento che poni $u(t)=z$, la $z$ assumerà i valori che assume $u$ al variare di $t$ e quindi è dipendente anch'essa da t. Non ti pare sia una scrittura equivalente alla $y=f(x)$?
non mi sembra che $z$ sia indipendente da $t$; dal momento che poni $u(t)=z$, la $z$ assumerà i valori che assume $u$ al variare di $t$ e quindi è dipendente anch'essa da t. Non ti pare sia una scrittura equivalente alla $y=f(x)$?
Scusate ma non sono ancora convinto (purtroppo):
avendo
$ \int frac{dz}{1+z^2} $ io immagino di avere una funzione $ g(z) = frac{1}{1+ z^2} $ e di doverla integrare.
in quel caso z la vedo come variabile indipendente da t visto che posso scegliere un valore per z e calcolare il valore di g(z).
avendo
$ \int frac{dz}{1+z^2} $ io immagino di avere una funzione $ g(z) = frac{1}{1+ z^2} $ e di doverla integrare.
in quel caso z la vedo come variabile indipendente da t visto che posso scegliere un valore per z e calcolare il valore di g(z).
"boulayo":
Salve a tutti. Ho un problema con un'equazione differenziale che non riesco a risolvere.
L'equazione è questa qui:
$u'(t) = u^2(t) + 1$
L'ho rigirata in mille modi ma non mi esce niente.
Innanzitutto, una EDO non si risolve senza imporre opportune condizioni iniziali; quindi facciamo finta di aver assegnato \(u(t_0)=0\).
Il teorema di esistenza ed unicità locale ci dice che intorno a \(t_0\) è possibile determinare un'unica soluzione del problema:
\[
\begin{cases} u^\prime =u^2+1 \\ u(t_0) =0 \; .\end{cases}
\]
Evidentemente, tale soluzione è strettamente crescente e di classe \(C^\infty\) intorno a \(t_0\): infatti si ha \(u^\prime (t)=u^2(t)+1>0\) (dato che \(u\) risolve la EDO) e pure \(u^\prime \in C^1\) (perché \(u\) è continua, essendo derivabile), quindi \(u\in C^2\); ma se \(u\in C^2\) allora da \(u^\prime =u^2+1\) si ricava che \(u^\prime \in C^2\) e dunque \(u\in C^3\)... Iterando si riconosce che la soluzione \(u\) è per l'appunto di classe \(C^\infty\).
Ora si ha \(u^2(t)+1>0\) intorno a \(t_0\), ergo si può dividere m.a.m. la EDO per \(u^2(t)+1\) ottenendo:
\[
\frac{u^\prime (t)}{u^2 (t)+1} =1\; ;
\]
essendo uguali i due membri della precedente intorno a \(t_0\), saranno anche uguali i loro integrali, ergo dalla precedente si desume che per \(t>t_0\) sufficientemente vicino a \(t_0\) è:
\[
\int_{t_0}^t \frac{u^\prime (\tau)}{u^2 (\tau)+1}\ \text{d} \tau =\int_{t_0}^t \text{d} \tau =t-t_0\; ;
\]
come detto la funzione \(u\) è strettamente crescente, ergo il cambiamento di variabile \(\theta =u(\tau)\) è lecito nell'integrale al primo membro e facendolo si trova:
\[
\int_{t_0}^t \frac{u^\prime (\tau)}{u^2 (\tau)+1}\ \text{d} \tau = \int_{u(t_0)}^{u(t)} \frac{1}{\theta^2+1}\ \text{d} \theta = \arctan \theta \Big|_0^{u(t)} =\arctan u(t) \; ,
\]
sicché vale l'uguaglianza:
\[
\arctan u(t) =t-t_0
\]
per \(t>t_0\) sufficientemente vicino a \(t_0\) e, conseguentemente puoi scrivere esplicitamente la tua soluzione come:
\[
\tag{1} u(t) =\tan (t-t_0)
\]
per \(t\in [t_0 ,t_0 +\pi/2[\).
Se ragioni in maniera analoga per \(t
u(t)=\tan (t-t_0) \qquad t\in ]t_0-\pi/2, t_0+\pi/2[\; .
\]
Se al posto di \(t_0\) introduci una costante arbitraria trovi proprio la soluzione proposta dal libro.
"gugo82":
Evidentemente, tale soluzione è strettamente crescente e di classe $C^oo$ intorno a $t_0$: infatti si ha $u'(t)=u^2(t)+1>0$ (dato che $u$ risolve la EDO) e pure $u' in C^1$ (perché $u$ è continua, essendo derivabile), quindi $u in C^2$; ma se $u in C^2$ allora da $u'=u^2+1$ si ricava che $u' in C^2$ e dunque $u in C^3$... Iterando si riconosce che la soluzione $u$ è per l'appunto di classe $C^\infty$.
Ciao
gentilmente Gugo potresti approndire il passaggio citato? Quello che mi sfugge è come si può dire che $u' in C^1$ senza dimostrarlo, poiché la derivata di una funzione continua può non essere continua. Io direi che essendo $u$ continua perché derivabile ed essendolo anche $u^2$ perché elevazione a potenza con esponente intero di una funzione continua, $u'$ è continua essendo somma di funzioni continue. Di più $u'$ è derivabile perché somma di funzioni derivabili ($u^2$ elevazione a potenza con esponente intero di una funzione derivabile, e 1). Ora Poiché $w=(u')'=2u u'$ è continua essendo il prodotto di funzioni continue, $u' in C^1$. Allora è anche vero che $u in C^2$. Da qui poi mi riaggancerei al tuo discorso ...iterando si trova che la soluzione $u in C^oo$. Quale considerazione può portare a saltare i passaggi in più (evidentemente superflui) che ho messo io?
Grazie davvero per una tua eventuale risposta e grazie per avermi dato modo di riflettere.
"Ziben":
[quote="gugo82"]Evidentemente, tale soluzione è strettamente crescente e di classe $C^oo$ intorno a $t_0$: infatti si ha $u'(t)=u^2(t)+1>0$ (dato che $u$ risolve la EDO) e pure $u' in C^1$ (perché $u$ è continua, essendo derivabile), quindi $u in C^2$; ma se $u in C^2$ allora da $u'=u^2+1$ si ricava che $u' in C^2$ e dunque $u in C^3$... Iterando si riconosce che la soluzione $u$ è per l'appunto di classe $C^\infty$.
gentilmente Gugo potresti approndire il passaggio citato? Quello che mi sfugge è come si può dire che $u' in C^1$ senza dimostrarlo, poiché la derivata di una funzione continua può non essere continua. Io direi che essendo $u$ continua perché derivabile ed essendolo anche $u^2$ perché elevazione a potenza con esponente intero di una funzione continua, $u'$ è continua essendo somma di funzioni continue. Di più $u'$ è derivabile perché somma di funzioni derivabili ($u^2$ elevazione a potenza con esponente intero di una funzione derivabile, e 1). Ora Poiché $w=(u')'=2u u'$ è continua essendo il prodotto di funzioni continue, $u' in C^1$. Allora è anche vero che $u in C^2$. Da qui poi mi riaggancerei al tuo discorso ...iterando si trova che la soluzione $u in C^oo$. Quale considerazione può portare a saltare i passaggi in più (evidentemente superflui) che ho messo io?[/quote]
Beh, hai detto tutto tu.
Io avevo sintetizzato, poiché ritenevo fossi in grado di afferrare l'argomento con una minima riflessione, come di fatto è accaduto.
grazie davvero per la conferma. Vuol dire che sono ancora in grado di ragionare 
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