Equazione differenziale primo ordine particolare
Buongiorno!
Facendo esercizi sulle equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili ho trovato questo testo:
$y' = (y^2 )/ (1+y^2)$
$y(0) = 1$
Quindi:
Cerco le soluzioni stazionarie mettendo $(y^2)/(1+y^2) = 0$ e ottengo $y = 0$
ora divido il mio dominio in $(-∞, 0) (0, +∞)$ dato che per andare avanti devo portare la parte con y a sinista e lascio la x a destra e procedo come sempre fatto con gli altri esercizi, ovvero integrando
$\int (y^2+1)/y^2 dy$ = $\int 1 dx$
$\int y^2/y^2 +1/y^2 dy$ = $\int 1 dx$
$-1/y + y = x + c$
applicando la situazione inziale ottengo c=0...
Ora dovrei esplicitare la y per andare poi a cercare l'intervallo massimo della soluzione vedendo dov'è x ma non so come arrivare alla forma y = ...
AUITO
Facendo esercizi sulle equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili ho trovato questo testo:
$y' = (y^2 )/ (1+y^2)$
$y(0) = 1$
Quindi:
Cerco le soluzioni stazionarie mettendo $(y^2)/(1+y^2) = 0$ e ottengo $y = 0$
ora divido il mio dominio in $(-∞, 0) (0, +∞)$ dato che per andare avanti devo portare la parte con y a sinista e lascio la x a destra e procedo come sempre fatto con gli altri esercizi, ovvero integrando
$\int (y^2+1)/y^2 dy$ = $\int 1 dx$
$\int y^2/y^2 +1/y^2 dy$ = $\int 1 dx$
$-1/y + y = x + c$
applicando la situazione inziale ottengo c=0...
Ora dovrei esplicitare la y per andare poi a cercare l'intervallo massimo della soluzione vedendo dov'è x ma non so come arrivare alla forma y = ...
AUITO
Risposte
Ti riconduci ad un'equazione di secondo grado in $y$..
esatto, $y(y-x) = 1$
ma avendo il dominio diviso in due a sinistra e a destra dello zero, per andare avanti un problemi come questo dovrei porre la mia y >0 (vista la condizione iniziale)
ma avendo questa situazione non ottengo propriamente y = qualcosa ma appunto $y(y-x)=1$.
di solito (ad esempio se avessi avuto $ y = 5+x$) avrei fatto $y>0$ e quindi $ 5+x >0 $ e avrei estrapolato la x.
In questo caso posso fare direttamente provando a "scindere" la $y$ da $(y-x)$?
Se riesci ad andare avanti sarei contentissimo di ricevere questo aiuto! =)
ma avendo il dominio diviso in due a sinistra e a destra dello zero, per andare avanti un problemi come questo dovrei porre la mia y >0 (vista la condizione iniziale)
ma avendo questa situazione non ottengo propriamente y = qualcosa ma appunto $y(y-x)=1$.
di solito (ad esempio se avessi avuto $ y = 5+x$) avrei fatto $y>0$ e quindi $ 5+x >0 $ e avrei estrapolato la x.
In questo caso posso fare direttamente provando a "scindere" la $y$ da $(y-x)$?
Se riesci ad andare avanti sarei contentissimo di ricevere questo aiuto! =)
in effetti è vero! ora che conosco le due y posso andare a verificare direttamente quando è maggiore di zero e trovare l'intervallo massimale della soluzione con x. Mi sono perso in una cavolata =\
Grazie per il tuo aiuto! =)
Grazie per il tuo aiuto! =)
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