Equazione differenziale primo ordine
Ho dei problemi con questa equazione differenziale (è seplice lo sò 
)
$y' = 1/(3x) y -x+2$
Bisogna trovare la soluzione y tale che y(1) = y0.
Le domande sono queste :
1) La formula generale qual'è?
2) Gli estremi degli integrali della formula che logica seguono?
Grazie in anticipo
)$y' = 1/(3x) y -x+2$
Bisogna trovare la soluzione y tale che y(1) = y0.
Le domande sono queste :
1) La formula generale qual'è?
2) Gli estremi degli integrali della formula che logica seguono?
Grazie in anticipo
Risposte
Questa è una equazione lineare del primo ordine, quindi esiste una formula generale: $y'(x)=a(x)y(x)+b(x)$
$y(x)=e^(\inta(x)dx)[c+\intb(x)\e^(-\inta(x)dx)]$
$y(x)=e^(\inta(x)dx)[c+\intb(x)\e^(-\inta(x)dx)]$
visto che dovrei fare anch'io esercizi del genere provo a postare lo svolgimento, se avete la pazienza di cercare errori, correggete pure 
Se $P$ e $Q$ sono continue in $I$, allora esiste una e una sola $y=f(x)$ tale che $y' + P(x)y=Q(x)$ con $f(a)=b$ ($a in I$) ed e' data da $f(x)=be^{-A(x)} + e^{-A(x)}\int_a^x Q(t)e^{A(t)} dt$ con $A(x)=\int_a^x P(t)dt$
se considero $I=(0, +∞)$
nel tuo caso $A(x) = -1/3\int_1^x 1/t dt = -1/3ln(x)$
dunque $f(x)=y_{0}e^{1/3ln(x)} + e^{1/3ln(x)}\int_a^x (-t+2)e^{-1/3ln(t)} dt = y_{0}(x^{1/3}) + x^{1/3}\int_1^x (-t+2)/(t^{1/3}) dt $
$\int_1^x (-t+2)/(t^{1/3}) dt = -\int_1^x t^{2/3}dt + 2\int_1^x t^{-1/3}dt = -3/5(x^{5/3} - 1) + 3(x^{2/3} - 1)$
dunque $f(x) = y_{0}(x^{1/3}) + -3/5(x^{2} - x^{1/3}) + 3(x - x^{1/3})
Se $P$ e $Q$ sono continue in $I$, allora esiste una e una sola $y=f(x)$ tale che $y' + P(x)y=Q(x)$ con $f(a)=b$ ($a in I$) ed e' data da $f(x)=be^{-A(x)} + e^{-A(x)}\int_a^x Q(t)e^{A(t)} dt$ con $A(x)=\int_a^x P(t)dt$
se considero $I=(0, +∞)$
nel tuo caso $A(x) = -1/3\int_1^x 1/t dt = -1/3ln(x)$
dunque $f(x)=y_{0}e^{1/3ln(x)} + e^{1/3ln(x)}\int_a^x (-t+2)e^{-1/3ln(t)} dt = y_{0}(x^{1/3}) + x^{1/3}\int_1^x (-t+2)/(t^{1/3}) dt $
$\int_1^x (-t+2)/(t^{1/3}) dt = -\int_1^x t^{2/3}dt + 2\int_1^x t^{-1/3}dt = -3/5(x^{5/3} - 1) + 3(x^{2/3} - 1)$
dunque $f(x) = y_{0}(x^{1/3}) + -3/5(x^{2} - x^{1/3}) + 3(x - x^{1/3})
Esatto, anche a me torna così... 
Quello che non capisco è perchè le integrali le calcoli da 1 a x... per altro nelle soluzioni il prove le calcola da 0 a x... puoi spiegarmi per favore? 
E poi mi servirebbe sapere in che parte tieni conto della condizione y(1) = y0.
Grazie
E poi mi servirebbe sapere in che parte tieni conto della condizione y(1) = y0.
Grazie
$1/x$ non e' continua in $x=0$ quindi non so nemmeno io come faccia a calcolare l'integrale da 0 a x nella tua soluzione...
edit: altra cosa: nell'integrale prendi il tuo valore $a$ perche' in questo modo se provi a calcolare $A(a)$ vedi che vale 0, e dunque soddisfi la condizione iniziale $f(a)=y_0$
per quanto riguarda la condizione $y(a) = y_0$: come vedi nella formula generale compare $y_{0}$. Per capire bene perche' va a finire proprio li dovresti vedere come si dimostra la formula generale! Non e' complicato pero' e' un po' lunghetta e penso sia presente nel tuo testo di analisi 1...
edit: altra cosa: nell'integrale prendi il tuo valore $a$ perche' in questo modo se provi a calcolare $A(a)$ vedi che vale 0, e dunque soddisfi la condizione iniziale $f(a)=y_0$
per quanto riguarda la condizione $y(a) = y_0$: come vedi nella formula generale compare $y_{0}$. Per capire bene perche' va a finire proprio li dovresti vedere come si dimostra la formula generale! Non e' complicato pero' e' un po' lunghetta e penso sia presente nel tuo testo di analisi 1...
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