Equazione differenziale primo ordine
Salve ho provato a svolgere questo problema di Cauchy ma mi sono bloccato proprio sul finale. Qualcuno sa aiutarmi?
$ { ( y'(x)=1/(1+y(x)) ),( y(0)=0 ):} $
Io ho svolto con il metodo delle variabili separabili ed ho ottenuto
$ y+y^2/2=x+c $ ma non so come andare avanti per esplicitare la $y$. Grazie a tutti
$ { ( y'(x)=1/(1+y(x)) ),( y(0)=0 ):} $
Io ho svolto con il metodo delle variabili separabili ed ho ottenuto
$ y+y^2/2=x+c $ ma non so come andare avanti per esplicitare la $y$. Grazie a tutti
Risposte
Posso chiederti a come sei arrivato a quel risultato? Facendo il cambio di variabile, non dovresti ottenere i seguenti integrali?
$\int(1+y)dy=\intdx$
Perciò
$y+(y^2)/2=x+c$
Dove $c$ è la costante da determinare imponendo le condizioni iniziali; sei d'accordo fin qui?
$\int(1+y)dy=\intdx$
Perciò
$y+(y^2)/2=x+c$
Dove $c$ è la costante da determinare imponendo le condizioni iniziali; sei d'accordo fin qui?
Quel $2x$ da dove viene? Dovrebbe invece esserci una costante d'integrazione, facciamo $c$.
Comunque non esplicitarla. Ti serve fare in modo che l'ordinata sia nulla quando l'ascissa è nulla per mezzo di un opportuno valore di $c$. Dunque sostituisci $x = 0$ e $y = 0$ e risolvi per $c$.
Geometricamente hai l'equazione di una parabola orizzontale leggermente spostata con la condizione di aggiungere un numero reale tale che passi per l'origine. Così, per me, non è affatto più semplice, ma è un altro modo di vedere la questione.
@Lele idem.
Comunque non esplicitarla. Ti serve fare in modo che l'ordinata sia nulla quando l'ascissa è nulla per mezzo di un opportuno valore di $c$. Dunque sostituisci $x = 0$ e $y = 0$ e risolvi per $c$.
Geometricamente hai l'equazione di una parabola orizzontale leggermente spostata con la condizione di aggiungere un numero reale tale che passi per l'origine. Così, per me, non è affatto più semplice, ma è un altro modo di vedere la questione.
@Lele idem.
$y(0)=0 -> c=0$
I problemi di cauchy richiedono un intervallo aperto per essere risolte, nel tuo caso devi scegliere il più grande intervallo aperto $I$ che contiene $x=0$ e tale che $y(x)!=-1$ per ogni $x$ in $I$, una volta fatto basta completare il quadrato rispetto a $y$ ed esplicitare $y$
I problemi di cauchy richiedono un intervallo aperto per essere risolte, nel tuo caso devi scegliere il più grande intervallo aperto $I$ che contiene $x=0$ e tale che $y(x)!=-1$ per ogni $x$ in $I$, una volta fatto basta completare il quadrato rispetto a $y$ ed esplicitare $y$
"Vulplasir":
$y(0)=0 -> c=0$
I problemi di cauchy richiedono un intervallo aperto per essere risolte, nel tuo caso devi scegliere il più grande intervallo aperto $I$ che contiene $x=0$ e tale che $y(x)!=-1$ per ogni $x$ in $I$, una volta fatto basta completare il quadrato rispetto a $y$ ed esplicitare $y$
Sisi sò come funziona ma non sono riuscito a esplicitare la y. Il $2x+x $ errore mio, ho sbagliato a scrivere, volevo scrivere $x+c$. Devo esplicitare la $y$ in questo: $y+y^2/2=x+c$. Come si fa?
La c sappiamo essere nulla quindi l'equazione diventa: $ y+y^2/2=x $ moltiplico entrambi i membri per 2: $ 2y+y^2=2x $ e adesso come suggerito da vulplasir completo il quadraato aggiungendo e togliendo 1
$ +1-1+2y+y^2=2x $
$ (y+1)^2=2x+1 $
$ y=sqrt(2x+1)-1 $
$ +1-1+2y+y^2=2x $
$ (y+1)^2=2x+1 $
$ y=sqrt(2x+1)-1 $
"cooper":
La c sappiamo essere nulla quindi l'equazione diventa: $ y+y^2/2=x $ moltiplico entrambi i membri per 2: $ 2y+y^2=2x $ e adesso come suggerito da vulplasir completo il quadraato aggiungendo e togliendo 1
$ +1-1+2y+y^2=2x $
$ (y+1)^2=2x+1 $
$ y=sqrt(2x+1)-1 $
Grazie mille, non avevo letto bene la risposta di Vulplasir. Scusate
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