Equazione differenziale per sostituzione

[Netfrog]

Ciao a tutti,
ho questa equazione differenziale del primo ordine non omogenea che non riesco a risolvere:

\(\displaystyle y'e^{y}+xe^{y}=xe^{-x^2} \) e \(\displaystyle y(0)=0 \)

Un consiglio che mi era stato dato era di porre \(\displaystyle e^{y} \) pari a z ma poi che cosa faccio ?
se derivo z ottengo ancora lo stesso esponenziale quindi non mi risolve il problema....


Un aiuto?

Grazie

[Rigel1]

Se poni \(z = e^y\) hai \(z' = y' e^y\) e, sostituendo nell'equazioni di partenza, ottieni un'equazione lineare in \(z\).

[Netfrog]

Giusto!

Ottengo
\(\displaystyle z'+xz=xe^{-x^2} \)

utilizzando la formula:
\(\displaystyle z(x)=e^{-A(x)}(z0+\int g(x)e^{A(x)}dx) \)

con:
\(\displaystyle A(x)=\int a(x)dx \)

ottengo:
A(x)= \(\displaystyle x^{2}/2 + k \)

mentre svolgendo l'integrale della formula ottengo:
\(\displaystyle e^{-x^{2}/2} \)

quindi:
\(\displaystyle z(x)=(e^{x^{2}/2}+z0)e^{-x^{2}/2} \)

ma come trovo il valore di z0 ?

[Rigel1]

\(z(0) = e^{y(0)} = e^0 = 1\).

[Netfrog]

La soluzione dice:
- il limite di y(x) per x tendente a infinito è diverso da zero
- y(x) è pari

ponendo 1=1+z0 z0=0 z(x)= 1 quindi y(x)= 0

quindi non mi torna con la soluzione...

[Netfrog]

UP!

[Rigel1]

La soluzione mi sembra sbagliata.
Posto che non abbia sbagliato io, dovrebbe venire
\[
z(x) = e^{-x^2/2} \left( 2 - e^{-x^2/2}\right).
\]