Equazione differenziale per serie?

[Giugi921]

Ho un problema con la seguente equazione differenziale: $ y''+(x-1)^2*y=1 $ . Mi richiede una soluzione dell'equazione sviluppando per serie, con i valori iniziali: $ y(1)=0 $ e $ y'(1)=0 $ . Vi mostro il mio procedimento:
Si tratta di una serie di potenze centrate in $ X=1 $ , quindi: sviluppando fino all'ordine 2 ottengo $ y''(x)=sum_(n =1 \) n(n-1)a[n](x-1)^(n-2) $ sostituendo e facendo alcuni passaggi (ovvero traslando la serie di ordine 2 in n+2 e infine la serie di ordine 0 in n-2), ottengo: $ sum_(n =0) (n+2)(n+1)a[n+2](x-1)^n +sum_(n =2) a[n-2](x-1)^n =1 $ ; raccolgo: $ sum_(n =2) [(n+2)(n+1)a[n+2]+a[n-2](x-1)^n=0 $ posto $ a0(1)=a1(1)=0 $ e i coefficienti per la serie sono:
$ a[n+2]= -(a[n-2])/((n+2)(n+1)) $ ; solo che la soluzione esatta sarebbe questa: $ a[n]= -(a[n-4])/(n(n-1)) $
Non capisco davvero dove ho sbagliato! Potreste darmi una mano per piacere? Grazie mille in anticipo.
N.B. i vari coefficienti a[n], a[n+2] rappresentano i pedici dei coefficienti! Li ho indicati con []

[gugo82]

Mi pare che una traslazione dell'indice risolva tutto.
Se nella tua soluzione metti \(n=m-2\) con \(m=2,3,4,\ldots\), ottieni esattamente la formula del testo.

[Giugi921]

"gugo82":Mi pare che una traslazione dell'indice risolva tutto.
Se nella tua soluzione metti \(n=m-2\) con \(m=2,3,4,\ldots\), ottieni esattamente la formula del testo.

Grazie per la risposta, solo che non capisco perché dovrei operare tale traslazione, perché la soluzione a cui sono giunta non va bene!

[gugo82]

Ora che noto, ti sei sicuramente persa per strada qualche pezzo.

Se:
\[
y(x)=\sum_{n=2}^\infty a_n (x-1)^n
\]
(le condizioni iniziali importano \(a_0=0=a_1\), come hai giustamente notato) allora:
\[
\begin{split}
y^{\prime \prime}(x) &= \sum_{n=2}^\infty n (n-1)a_n (x-1)^{n-2} \\
&\stackrel{k=n-2}{=} \sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1) a_{k+2} (x-1)^k\\
(x-1)^2\ y(x) &= \sum_{n=2}^\infty a_n (x-1)^{n+2}\\
&\stackrel{k=n+2}{=} \sum_{k=4}^\infty a_{k-2} (x-1)^k
\end{split}
\]
dunque la tua EDO diviene:
\[
\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1) a_{k+2} (x-1)^k + \sum_{k=4}^\infty a_{k-2} (x-1)^k =1
\]
ossia, isolando i primi quattro termini della prima somma e raggruppando i rimanenti con quelli della seconda somma:
\[
2a_2+6a_3\ (x-1) +12a_4\ (x-1)^2+ 20 a_5\ (x-1)^3 + \sum_{k=4}^\infty \Big( (k+2)(k+1) a_{k+2} + a_{k-2} \Big)\ (x-1)^k =1\; .
\]
Il Principio d'Identità delle Funzioni Analitiche importa:
\[
\begin{cases}
2a_2=1\\
6a_3 =0\\
12 a_4 =0\\
20 a_5=0\\
(k+2)(k+1) a_{k+2} + a_{k-2} &\text{per } k\geq 4
\end{cases}
\]
cioé:
\[
\begin{cases}
a_2=1/2\\
a_3=a_4=a_5=0\\
a_n= -\frac{1}{n(n-1)}\ a_{n-4} &\text{per } n\geq 6
\end{cases}
\]
Ne segue che gli \(a_n\) sono tutti nulli a meno di quelli corrispondenti agli indici del tipo \(n=4h+2\) con \(h=0,1,2,\ldots\); tali indici soddisfano la ricorrenza:
\[
\begin{cases}
a_2=1/2 \\
a_{6+4h} = -\frac{1}{(6+4h)(5+4h)}\ a_{2+4h} &\text{per } h=0,1,2,\ldots
\end{cases}
\]

[Giugi921]

"gugo82":Ora che noto, ti sei sicuramente persa per strada qualche pezzo.

Se:
\[
y(x)=\sum_{n=2}^\infty a_n (x-1)^n
\]
(le condizioni iniziali importano \(a_0=0=a_1\), come hai giustamente notato) allora:
\[
\begin{split}
y^{\prime \prime}(x) &= \sum_{n=2}^\infty n (n-1)a_n (x-1)^{n-2} \\
&\stackrel{k=n-2}{=} \sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1) a_{k+2} (x-1)^k\\
(x-1)^2\ y(x) &= \sum_{n=2}^\infty a_n (x-1)^{n+2}\\
&\stackrel{k=n+2}{=} \sum_{k=4}^\infty a_{k-2} (x-1)^k
\end{split}
\]
dunque la tua EDO diviene:
\[
\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1) a_{k+2} (x-1)^k + \sum_{k=4}^\infty a_{k-2} (x-1)^k =1
\]
ossia, isolando i primi quattro termini della prima somma e raggruppando i rimanenti con quelli della seconda somma:
\[
2a_2+6a_3\ (x-1) +12a_4\ (x-1)^2+ 20 a_5\ (x-1)^3 + \sum_{k=4}^\infty \Big( (k+2)(k+1) a_{k+2} + a_{k-2} \Big)\ (x-1)^k =1\; .
\]
Il Principio d'Identità delle Funzioni Analitiche importa:
\[
\begin{cases}
2a_2=1\\
6a_3 =0\\
12 a_4 =0\\
20 a_5=0\\
(k+2)(k+1) a_{k+2} + a_{k-2} &\text{per } k\geq 4
\end{cases}
\]
cioé:
\[
\begin{cases}
a_2=1/2\\
a_3=a_4=a_5=0\\
a_n= -\frac{1}{n(n-1)}\ a_{n-4} &\text{per } n\geq 6
\end{cases}
\]
Ne segue che gli \(a_n\) sono tutti nulli a meno di quelli corrispondenti agli indici del tipo \(n=4h+2\) con \(h=0,1,2,\ldots\); tali indici soddisfano la ricorrenza:
\[
\begin{cases}
a_2=1/2 \\
a_{6+4h} = -\frac{1}{(6+4h)(5+4h)}\ a_{2+4h} &\text{per } h=0,1,2,\ldots
\end{cases}
\]

Grazie mille sei stato chiarissimo! Un ultimissima cosa..la sommatoria parte da n=2 perché per n=0 ed n=1 i primi termini sono nulli,giusto?