Equazione differenziale particolare
Data l’equazione differenziale $y'=x(y^2 -1)/(x^2 +y^2 +1)$ risolvere i problemi di Cauchy di punto iniziale (1, 0) e (1, 1).
La mia professoressa dice che questa equazione differenziale si può ricondurre ad una equazione differenziale esatta.
A lezione la professoressa ha spiegato questo metodo:
Innanzi tutto si scrive l'equazione sotto forma di differenziale $x(1-y^2)dx+(x^2 +y^2 +1)dy=0$ Poi si considera la forma differenziale associata a tale equazione, cioè $w(x,y)=x(1-y^2)dx+(x^2 +y^2 +1)$.
Poi si denota $x(1-y^2)=M$ e $(x^2 +y^2 +1)=N$.
Fatto questo si calcola: $M_y =-2xy$ e $N_x =2x$.
Siccome le due derivate non coincidono, allora bisogna fare così:
Innanzi tutto si calcola $M_y - N_x = -2x(y+1)$, poi bisogna cercare di scrivere -2x(y+1)= a(x)N-b(y)M.
Io ho provato in tutti i modi, ma non riesco proprio a trovarmi a(x) e b(y), qualcuno di voi percaso sarebbe in grado di farlo?
Mi basta solo sapere come trovare a(x) e b(y), non serve che mi spiegate cosa bisogna fare dopo aver trovato a(x) e b(y).
Grazie a tutti.
La mia professoressa dice che questa equazione differenziale si può ricondurre ad una equazione differenziale esatta.
A lezione la professoressa ha spiegato questo metodo:
Innanzi tutto si scrive l'equazione sotto forma di differenziale $x(1-y^2)dx+(x^2 +y^2 +1)dy=0$ Poi si considera la forma differenziale associata a tale equazione, cioè $w(x,y)=x(1-y^2)dx+(x^2 +y^2 +1)$.
Poi si denota $x(1-y^2)=M$ e $(x^2 +y^2 +1)=N$.
Fatto questo si calcola: $M_y =-2xy$ e $N_x =2x$.
Siccome le due derivate non coincidono, allora bisogna fare così:
Innanzi tutto si calcola $M_y - N_x = -2x(y+1)$, poi bisogna cercare di scrivere -2x(y+1)= a(x)N-b(y)M.
Io ho provato in tutti i modi, ma non riesco proprio a trovarmi a(x) e b(y), qualcuno di voi percaso sarebbe in grado di farlo?
Mi basta solo sapere come trovare a(x) e b(y), non serve che mi spiegate cosa bisogna fare dopo aver trovato a(x) e b(y).
Grazie a tutti.
Risposte
Qualcosa trovi qui:
http://www.diptem.unige.it/patrone/Paol ... apr-08.pdf
(è una copia del contributo che è sul sito "matematicamente.it").
Nel paragrafo 3 è illustrata la teoria.
http://www.diptem.unige.it/patrone/Paol ... apr-08.pdf
(è una copia del contributo che è sul sito "matematicamente.it").
Nel paragrafo 3 è illustrata la teoria.
In questo caso la forma differenziale associata all'equazione differenziale non è esatta e quindi bisogna moltiplicarla per una funzione per renderla esatta. Il problema è che non riesco a trovarmi a(x) e b(y) e quindi non posso andare avanti.
Scusa per la inutile risposta di prima, avevo letto molto velocemente e mi era sembrato che fosse un problema di base.
Mi sa che c'è qualche svista nei tuoi conti.
Hai:
$M = x(1-y^2)$
$N = x^2 +y^2 +1$
Basta moltiplicare $N$ per $y$, se non mi sbaglio, per ottenere una forma differenziale "esatta" (più precisamente, per avere uguali le "derivate in croce").
Mi sa che c'è qualche svista nei tuoi conti.
Hai:
$M = x(1-y^2)$
$N = x^2 +y^2 +1$
Basta moltiplicare $N$ per $y$, se non mi sbaglio, per ottenere una forma differenziale "esatta" (più precisamente, per avere uguali le "derivate in croce").
allora forse è meglo se spiego tutto il procedimento generale che ho visto a lezione
parto da dove ho lasciato in sospeso.
Una volta trovati a(x) e b(y) bisogna cercare una funzione φ(x,y) in modo tale che moltiplicata alla forma differenziale, diventi esatta e tale φ(x,y)=α(x)β(y) dove α'=a(x)α e β'=b(y)β.
Quindi la difficoltà di questo esercizio sta proprio nel trovare le funzioni a e b, perchè una volta trovate sia a che b, si tratta semplicemente di risolvere due equazioni differenziali a variabili separabili, le quali una volta risolte permettono di trovare la funzione φ da moltiplicare alla forma differenziale per renderla esatta.
Io purtroppo è da parecchio che sto impazzendo con questa equazione, ma non riesco proprio a venirne a capo.
parto da dove ho lasciato in sospeso.
Una volta trovati a(x) e b(y) bisogna cercare una funzione φ(x,y) in modo tale che moltiplicata alla forma differenziale, diventi esatta e tale φ(x,y)=α(x)β(y) dove α'=a(x)α e β'=b(y)β.
Quindi la difficoltà di questo esercizio sta proprio nel trovare le funzioni a e b, perchè una volta trovate sia a che b, si tratta semplicemente di risolvere due equazioni differenziali a variabili separabili, le quali una volta risolte permettono di trovare la funzione φ da moltiplicare alla forma differenziale per renderla esatta.
Io purtroppo è da parecchio che sto impazzendo con questa equazione, ma non riesco proprio a venirne a capo.
"serway2":
Data l’equazione differenziale $y'=x(y^2 -1)/(x^2 +y^2 +1)$ risolvere i problemi di Cauchy di punto iniziale (1, 0) e (1, 1).
Se $y=1$ allora $y'=0$ per ogni $x$, pertanto la condizione iniziale (1, 1) è un punto di equilibrio e l'unica soluzione dell'equazione è $y(x)=1$ per ogni $x$.
Se $y!=+-1$, allora l'equazione data si può manipolare nel modo seguente:
$(y')/(y^2-1)=x/(x^2 +y^2 +1)$, che equivale a
$1/2 d/(dx) log|(y-1)/(y+1)|=1/2 (del)/(delx) (log(x^2+y^2+1) + \mu (y))$, dove $\mu(y)$ è una funzione arbitraria della sola $y$.
Quindi:
$ log|(y-1)/(y+1)|= log(x^2+y^2+1) + \mu (y)$;
la condizione iniziale (1, 0) comporta $\mu(0)=log(1/2)$, ma la soluzione non è unica perché possiamo scegliere infinite funzioni $\mu(y)$ che soddisfano tale condizione.
"Sidereus":
[quote="serway2"]Data l’equazione differenziale $y'=x(y^2 -1)/(x^2 +y^2 +1)$ risolvere i problemi di Cauchy di punto iniziale (1, 0) e (1, 1).
Se $y=1$ allora $y'=0$ per ogni $x$, pertanto la condizione iniziale (1, 1) è un punto di equilibrio e l'unica soluzione dell'equazione è $y(x)=1$ per ogni $x$.
Se $y!=+-1$, allora l'equazione data si può manipolare nel modo seguente:
$(y')/(y^2-1)=x/(x^2 +y^2 +1)$, che equivale a
$1/2 d/(dx) log|(y-1)/(y+1)|=1/2 (del)/(delx) (log(x^2+y^2+1) + \mu (y))$, dove $\mu(y)$ è una funzione arbitraria della sola $y$.
Quindi:
$ log|(y-1)/(y+1)|= log(x^2+y^2+1) + \mu (y)$;
la condizione iniziale (1, 0) comporta $\mu(0)=log(1/2)$, ma la soluzione non è unica perché possiamo scegliere infinite funzioni $\mu(y)$ che soddisfano tale condizione.[/quote]
quello che hai scritto non è corretto Ricordati che y dipende da x e quindi non puoi integrare il secondo membro in quel modo, comunque ho capito come trovare le funzioni a e b che mi mancavano per risolvere l'equazione differenziale.
"serway2":
quello che hai scritto non è corretto Ricordati che y dipende da x e quindi non puoi integrare il secondo membro in quel modo
Giustissimo. Rettifico la castroneria che ho scritto nel mio messaggio precedente.
"serway2":
Data l’equazione differenziale $y'=x(y^2 -1)/(x^2 +y^2 +1)$ risolvere i problemi di Cauchy di punto iniziale (1, 0) e (1, 1).
Se $y=1$ allora $y'=0$ per ogni $x$, pertanto la condizione iniziale (1, 1) è un punto di equilibrio e l'unica soluzione dell'equazione è $y(x)=1$ per ogni $x$.
L'equazione data è equivalente all'annullamento della forma differenziale seguente:
$x(1-y^2)dx+(x^2+y^2+1)dy=0$
Mediante il fattore integrante $1/(1-y)^2$, valido per $y!=1$, otteniamo:
$(x(1+y))/(1-y)dx+(x^2+y^2+1)/(1-y)^2dy=0$.
Si vede facilmente che questa equazione determina la famiglia di curve integrali $F(x,y)=C$, dove
$F(x,y)=(x^2(1+y))/(2(1-y))+y-2/(1-y)+log(1-y)^2$ e $C$ costante.
Tenendo conto della condizione iniziale (1,0), si ottiene $C=-3/2$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo