Equazione differenziale ordinaria

[Johnny_Mnemonic]

Allora il mio problema è quello di determinare le soluzioni della seguente:

$y' = \frac{1}{1-x^{2}}y , (-1
Allora per prima cosa ho osservato che l'equazione diff. è omogenea e quindi sono giunto alla conclusione che l'unica soluzione è la soluzione generale.
Quindi ho fatto i soliti passaggi:

$\log|y(x)| = \int\frac{1}{1-x^{2}}dx$

Poi ho pensato di scomporre in fratti l'integranda ed ho ottenuto:

$\frac{1}{1-x^{2}}= \frac{1}{2}\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+x}$

Poi ho risolto l'integrale trovando che:

$\int\frac{1}{1-x^{2}}dx = \frac{1}{2}\log(1-x)+\frac{1}{2}\log(1+x) = \frac{1}{2}log[(1-x)(1+x)] = \frac{1}{2}\log(1-x^{2}) = \log\sqrt{1-x^{2}} + C$

Infine ho trovato che la soluzione generale é :

$y(x) = Ce^{\log\sqrt{1-x^{2}}}=C\sqrt{1-x^{2}}$

Ora, premettendo che sono alle prime armi con le differenziali, vorrei sapere perchè la mia soluzione non coincide con quella del libro che risulta essere:

$C\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$

[blackbishop13]

perchè hai sbagliato a fare l'integrale

[tex]$\int{\frac{1}{1-x^2}\, dx}$[/tex] non viene quanto dici tu, fai la derivata e vedrai.

non so ci sarà qualche errore, prova a rifarlo.

[Johnny_Mnemonic]

grazie black mi hai fatto notare che :

$\int\frac{1}{1-x^{2}}dx = \int\frac{1}{(1-x)(1+x)}dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{1-x}dx + \frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x}dx = -\frac{1}{2}\int(-1)*(1-x)^{-1}dx + \frac{1}{2}\int1*(1+x)^{-1}dx = -\frac{1}{2}\log(1-x)+\frac{1}{2}\log(1+x) = \frac{1}{2}\log(\frac{1+x}{1-x}) = \log\sqrt{(\frac{1+x}{1-x})}$