Equazione differenziale omogenea secondo ordine
Ciao a tutti. Vorrei portare le equazioni differenziali come tesina per la maturità, ma siccome non sono un argomento studiato alle superiori chiedo in questa sezione.
Ho l'equazione $ ay'' + by' + cy = 0 $ e la sua equazione caratteristica quindi è $ ak^2 + bk + c = 0 $
Se $ delta<0 $ allora $ y1= e^(( A + iB )x) $ e $ y2= e^(( A - iB)x) $
Utilizzando le formule di Eulero si ottiene
$ y1= e^Ax * (cosBx + i senBx) $ e $ y2= e^Ax * (cosBx - i senBx)$
L'integrale generale della funzione è $ y= e^Ax * (c1 cosBx + c2 senBx) $
La mia domanda è perchè non c'è più la i davanti al seno?
Ho l'equazione $ ay'' + by' + cy = 0 $ e la sua equazione caratteristica quindi è $ ak^2 + bk + c = 0 $
Se $ delta<0 $ allora $ y1= e^(( A + iB )x) $ e $ y2= e^(( A - iB)x) $
Utilizzando le formule di Eulero si ottiene
$ y1= e^Ax * (cosBx + i senBx) $ e $ y2= e^Ax * (cosBx - i senBx)$
L'integrale generale della funzione è $ y= e^Ax * (c1 cosBx + c2 senBx) $
La mia domanda è perchè non c'è più la i davanti al seno?
Risposte
"engine":
Ciao a tutti. Vorrei portare le equazioni differenziali come tesina per la maturità, ma siccome non sono un argomento studiato alle superiori chiedo in questa sezione.
Ho l'equazione $ ay'' + by' + cy = 0 $ e la sua equazione caratteristica quindi è $ ak^2 + bk + c = 0 $
Se $ delta<0 $ allora $ y1= e^(( A + iB )x) $ e $ y2= e^(( A - iB)x) $
Utilizzando le formule di Eulero si ottiene
$ y1= e^Ax * (cosBx + i senBx) $ e $ y2= e^Ax * (cosBx - i senBx)$
L'integrale generale della funzione è $ y= e^Ax * (c1 cosBx + c2 senBx) $
La mia domanda è perchè non c'è più la i davanti al seno?
be ti posso rispondere io studente di ingegneria che si mi troverò tra poche settimane alle prese con l'esame di analisi 2 in cui si studiano proprio le equazioni differenziali. Ti posso semplicemente rispondere che si va a considerare solo la parte reale escludendo quella immaginaria. Il motivo alla base non lo so neanche io. Il mio prof. non ci ha dato molte spiegazioni sul perché. Ci ha illustrato la formula di eulero e quindi le modalità di scrittura da te illustrate ma non ci ha detto il perchè salta la $i$
[Edit]
Pensandoci bene e ricordandomi la teoria che ci sta dietro un motivo credo che ci sia ed è anche un gran bel motivo. Il fatto sta che a noi interessano solamente le soluzioni linearmente indipendenti tali che soddisfano la nostra equazioni differenziali. E da qui si apre un discorso bello lunghetto Però entrare in questo argomento per un diplomando mi sembra un pò rischioso
Ti va di spiegarmi velocemente il motivo? Potrebbe bastarmi anche un punto da cui partire, ho imparato da solo diverse cose di analisi 1 e 2. Posso provare a ragionarci sopra, visto che sta settimana non ho verifiche e ho tutto il tempo per la tesina.
Perchè per provare che la soluzione dell'omogenea associata è di quel tipo basta provare che il Wronskiano è diverso da 0 e per la dimostrazione la parte immaginaria non serve!
Più semplicemente, la i è sparita davanti al seno perché è stata inglobata nel coefficiente $c_2$
@ ZKeggia: ci avevo pensato anche io ma il mio prof ha detto che c'è un motivo per cui la i sparisce.
@ ale156: provo a dimostrarlo
Grazie ad entrambi per l'aiuto!
@ ale156: provo a dimostrarlo
Grazie ad entrambi per l'aiuto!
Per capire questa cosa bisogna cominciare a guardare l'equazione da un altro punto di vista, secondo me.
Proviamo a pensare all''incognita [tex]$y(x)$[/tex] dell'equazione differenziale come funzione complessa di una variabile reale, ossia [tex]$y:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$[/tex].
La derivata prima di una funzione complessa di variabile reale si può ancora definire come limite del rapporto incrementale:
[tex]$y^\prime (x)=\lim_{h\to 0} \frac{y(x+h)-y(x)}{h}$[/tex]
e lo stesso si può fare per le derivate d'ordine superiore; quindi, formalmente, valgono tutte le usuali regole di derivazione (tipo, derivata della somma, derivata del prodotto, della funzione composta, etc...) anche per le funzioni complesse di variabile reale.
Evidentemente allora ogni equazione differenziale con incognita reale può anche essere riguardata come equazione differenziale con incognita complessa, quando ciò faccia comodo.
Prendiamo l'equazione lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti:
(*) [tex]$a\ y^{\prime \prime}+b\ y^\prime +c\ y=0$[/tex];
se il polinomio caratteristico [tex]$a\ k^2+b\ k+c$[/tex] ha il [tex]$\Delta <0$[/tex], allora le due soluzioni indipendenti che si trovano con l'espressione esponenziale hanno la forma:
[tex]$y_1(x):= e^{(A+\imath\ B) x} \quad \text{ed} \quad y_2(x):= e^{(A- \imath\ B) x}$[/tex]
ove [tex]$\lambda:= A+\imath\ B$[/tex] e [tex]$\overline{\lambda} =A-\imath\ B$[/tex] (con [tex]$A=-\tfrac{b}{2a}$[/tex] e [tex]$B=\tfrac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}$[/tex]) sono le soluzioni complesse coniugate dell'equazione caratteristica.
Visto che [tex]$y_1(x)$[/tex] ed [tex]$y_2(x)$[/tex] sono funzioni complesse, in questo caso viene naturale riguardare la nostra equazione come equazione in campo complesso.
Possiamo affermare che l'equazione (*) è lineare pure se si considerano scalari complessi, nel senso che comunque si scelgano gli scalari [tex]$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$[/tex] e comunque si scelgano due soluzioni a valori complessi [tex]$\phi ,\ \psi:\mathbb{R} \to \mathbb{C}$[/tex] dell'equazione (*), allora anche la funzione [tex]$\eta (x):=\alpha\ \phi (x)+\beta \ \psi(x)$[/tex] è soluzione della (*): infatti si ha:
[tex]$\eta^\prime =\alpha \ \phi^\prime +\beta\ \psi^\prime \quad \text{ed} \quad \eta^{\prime \prime} =\alpha \ \phi^{\prime \prime}+\beta\ \psi^{\prime \prime}$[/tex]
e sostituendo nell'equazione si trova:
[tex]$a\ \eta^{\prime \prime} +b\ \eta^\prime +c\ \eta=a\ (\alpha \ \phi^{\prime \prime}+\beta\ \psi^{\prime \prime})+b\ (\alpha \ \phi^\prime +\beta\ \psi^\prime) +c\ (\alpha \ \phi +\beta\ \psi)$[/tex]
[tex]$=\alpha\ (a\ \phi^{\prime \prime} +b\ \phi^\prime +c\ \phi)+\beta\ (a\ \psi^{\prime \prime} +b\ \psi^\prime +c\ \psi)$[/tex]
[tex]$=\alpha\ 0+\beta \ 0=0$[/tex].
Per questo fatto generale, possiamo dire che qualunque combinazione lineare a coefficienti complessi di [tex]$y_1(x)$[/tex] ed [tex]$y_2(x)$[/tex] è ancora soluzione dell'equazione (*): in particolare sono soluzioni dell'equazione le seguenti funzioni:
[tex]$Y_1(x):=\frac{1}{2}\ y_1(x)+\frac{1}{2}\ y_2(x)\quad \text{ed} \quad Y_2(x):=\frac{1}{2\imath}\ y_1(x) -\frac{1}{2\imath}\ y_2(x)$[/tex].
Per calcolare esplicitamente [tex]$Y_1$[/tex] ed [tex]$Y_2$[/tex] usiamo le formule di Eulero: si ha:
[tex]$Y_1(x)=\frac{1}{2}\ \left( e^{(A+\imath\ B)x}+e^{(A-\imath\ B)x}\right)$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{2}\ e^{Ax}\ \left( \cos Bx +\imath\ \sin Bx +\cos Bx -\imath\ \sin Bx\right)$[/tex]
[tex]$=e^{Ax}\ \cos Bx$[/tex]
ed analogamente:
[tex]$Y_2(x)=\frac{1}{2\imath}\ \left( e^{(A+\imath\ B)x}-e^{(A-\imath\ B)x}\right)$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{2\imath}\ e^{Ax}\ \left( \cos Bx +\imath\ \sin Bx -\cos Bx +\imath\ \sin Bx\right)$[/tex]
[tex]$=e^{Ax}\ \sin Bx$[/tex].
Ragionando in questa maniera siamo riusciti a trovare per (*) due soluzioni [tex]$Y_1(x)=e^{Ax}\ \cos Bx$[/tex] ed [tex]$Y_2(x)=e^{Ax}\ \sin Bx$[/tex] che sono funzioni reali di variabile reale: e ciò è cosa buona e giusta, perchè sarebbe strano che un'equazione differenziale reale avesse solo soluzioni complesse!
Inoltre, tali soluzioni sono pure indipendenti* e quindi possono essere usate per scrivere l'integrale generale della (*) al solito modo, cioè:
[tex]$y(x):=c_1\ Y_1(x)+c_2\ Y_2(x) =c_1\ e^{Ax}\ \cos Bx+c_2\ e^{Ax}\ \sin Bx$[/tex].
Questo è tutto.
__________
* Questo si può vedere in vari modi: ad esempio si calcola esplicitamente il wronskiano di [tex]$Y_1,Y_2$[/tex]; oppure si usa il fatto che [tex]$Y_1,Y_2$[/tex] sono combinazioni lineari a coefficienti non proporzionali delle soluzioni complesse indipendenti [tex]$y_1,y_2$[/tex].
Proviamo a pensare all''incognita [tex]$y(x)$[/tex] dell'equazione differenziale come funzione complessa di una variabile reale, ossia [tex]$y:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$[/tex].
La derivata prima di una funzione complessa di variabile reale si può ancora definire come limite del rapporto incrementale:
[tex]$y^\prime (x)=\lim_{h\to 0} \frac{y(x+h)-y(x)}{h}$[/tex]
e lo stesso si può fare per le derivate d'ordine superiore; quindi, formalmente, valgono tutte le usuali regole di derivazione (tipo, derivata della somma, derivata del prodotto, della funzione composta, etc...) anche per le funzioni complesse di variabile reale.
Evidentemente allora ogni equazione differenziale con incognita reale può anche essere riguardata come equazione differenziale con incognita complessa, quando ciò faccia comodo.
Prendiamo l'equazione lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti:
(*) [tex]$a\ y^{\prime \prime}+b\ y^\prime +c\ y=0$[/tex];
se il polinomio caratteristico [tex]$a\ k^2+b\ k+c$[/tex] ha il [tex]$\Delta <0$[/tex], allora le due soluzioni indipendenti che si trovano con l'espressione esponenziale hanno la forma:
[tex]$y_1(x):= e^{(A+\imath\ B) x} \quad \text{ed} \quad y_2(x):= e^{(A- \imath\ B) x}$[/tex]
ove [tex]$\lambda:= A+\imath\ B$[/tex] e [tex]$\overline{\lambda} =A-\imath\ B$[/tex] (con [tex]$A=-\tfrac{b}{2a}$[/tex] e [tex]$B=\tfrac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}$[/tex]) sono le soluzioni complesse coniugate dell'equazione caratteristica.
Visto che [tex]$y_1(x)$[/tex] ed [tex]$y_2(x)$[/tex] sono funzioni complesse, in questo caso viene naturale riguardare la nostra equazione come equazione in campo complesso.
Possiamo affermare che l'equazione (*) è lineare pure se si considerano scalari complessi, nel senso che comunque si scelgano gli scalari [tex]$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$[/tex] e comunque si scelgano due soluzioni a valori complessi [tex]$\phi ,\ \psi:\mathbb{R} \to \mathbb{C}$[/tex] dell'equazione (*), allora anche la funzione [tex]$\eta (x):=\alpha\ \phi (x)+\beta \ \psi(x)$[/tex] è soluzione della (*): infatti si ha:
[tex]$\eta^\prime =\alpha \ \phi^\prime +\beta\ \psi^\prime \quad \text{ed} \quad \eta^{\prime \prime} =\alpha \ \phi^{\prime \prime}+\beta\ \psi^{\prime \prime}$[/tex]
e sostituendo nell'equazione si trova:
[tex]$a\ \eta^{\prime \prime} +b\ \eta^\prime +c\ \eta=a\ (\alpha \ \phi^{\prime \prime}+\beta\ \psi^{\prime \prime})+b\ (\alpha \ \phi^\prime +\beta\ \psi^\prime) +c\ (\alpha \ \phi +\beta\ \psi)$[/tex]
[tex]$=\alpha\ (a\ \phi^{\prime \prime} +b\ \phi^\prime +c\ \phi)+\beta\ (a\ \psi^{\prime \prime} +b\ \psi^\prime +c\ \psi)$[/tex]
[tex]$=\alpha\ 0+\beta \ 0=0$[/tex].
Per questo fatto generale, possiamo dire che qualunque combinazione lineare a coefficienti complessi di [tex]$y_1(x)$[/tex] ed [tex]$y_2(x)$[/tex] è ancora soluzione dell'equazione (*): in particolare sono soluzioni dell'equazione le seguenti funzioni:
[tex]$Y_1(x):=\frac{1}{2}\ y_1(x)+\frac{1}{2}\ y_2(x)\quad \text{ed} \quad Y_2(x):=\frac{1}{2\imath}\ y_1(x) -\frac{1}{2\imath}\ y_2(x)$[/tex].
Per calcolare esplicitamente [tex]$Y_1$[/tex] ed [tex]$Y_2$[/tex] usiamo le formule di Eulero: si ha:
[tex]$Y_1(x)=\frac{1}{2}\ \left( e^{(A+\imath\ B)x}+e^{(A-\imath\ B)x}\right)$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{2}\ e^{Ax}\ \left( \cos Bx +\imath\ \sin Bx +\cos Bx -\imath\ \sin Bx\right)$[/tex]
[tex]$=e^{Ax}\ \cos Bx$[/tex]
ed analogamente:
[tex]$Y_2(x)=\frac{1}{2\imath}\ \left( e^{(A+\imath\ B)x}-e^{(A-\imath\ B)x}\right)$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{2\imath}\ e^{Ax}\ \left( \cos Bx +\imath\ \sin Bx -\cos Bx +\imath\ \sin Bx\right)$[/tex]
[tex]$=e^{Ax}\ \sin Bx$[/tex].
Ragionando in questa maniera siamo riusciti a trovare per (*) due soluzioni [tex]$Y_1(x)=e^{Ax}\ \cos Bx$[/tex] ed [tex]$Y_2(x)=e^{Ax}\ \sin Bx$[/tex] che sono funzioni reali di variabile reale: e ciò è cosa buona e giusta, perchè sarebbe strano che un'equazione differenziale reale avesse solo soluzioni complesse!
Inoltre, tali soluzioni sono pure indipendenti* e quindi possono essere usate per scrivere l'integrale generale della (*) al solito modo, cioè:
[tex]$y(x):=c_1\ Y_1(x)+c_2\ Y_2(x) =c_1\ e^{Ax}\ \cos Bx+c_2\ e^{Ax}\ \sin Bx$[/tex].
Questo è tutto.
__________
* Questo si può vedere in vari modi: ad esempio si calcola esplicitamente il wronskiano di [tex]$Y_1,Y_2$[/tex]; oppure si usa il fatto che [tex]$Y_1,Y_2$[/tex] sono combinazioni lineari a coefficienti non proporzionali delle soluzioni complesse indipendenti [tex]$y_1,y_2$[/tex].
Ah ora che ci penso il motivo è questo.
Le soluzioni di una equazione differenziale omogenea sono uno spazio vettoriale:
Ovvero presi due vettori anche la loro somma e la loro sottrazione, così come il prodotto per scalari saranno soluzioni dell'equazione.
A questo punto è semplice. Sai che due soluzioni sono
$y_1= e^(Ax) *(cosx + isenx)$
e
$y_2 = e^(Ax)*(cosx - isenx)$
ma allora anche
$(y_1 + y_2)/2 $ e
$(y_1 - y_2)/(2i) $ saranno soluzioni, puoi provare per sostituzione diretta.
A questo punto scopri che le tue due nuove soluzioni sono reali. Ma è perfetto per un fisico avere soluzioni reali ad un'equazione differenziale, significa che sappiamo associarci un significato fisico.
Per esempio pensa all'oscillatore armonico. La sua equazione caratteristica è
$y'' +ky=0$
è vero che la soluzione generica è
$A*(cosx +- isenx)$, solo che non sappiamo dare un significato preciso al termine immaginario, perché noi sappiamo associare una posizione solo a dei numeri reali.
A questo punto usiamo il fatto che le soluzioni di una omogenea formano uno spazio vettoriale e siamo apposto, otteniamo la classica equazione del moto armonico, che ha un significato fisico precisissimo e chiaro!
Le soluzioni di una equazione differenziale omogenea sono uno spazio vettoriale:
Ovvero presi due vettori anche la loro somma e la loro sottrazione, così come il prodotto per scalari saranno soluzioni dell'equazione.
A questo punto è semplice. Sai che due soluzioni sono
$y_1= e^(Ax) *(cosx + isenx)$
e
$y_2 = e^(Ax)*(cosx - isenx)$
ma allora anche
$(y_1 + y_2)/2 $ e
$(y_1 - y_2)/(2i) $ saranno soluzioni, puoi provare per sostituzione diretta.
A questo punto scopri che le tue due nuove soluzioni sono reali. Ma è perfetto per un fisico avere soluzioni reali ad un'equazione differenziale, significa che sappiamo associarci un significato fisico.
Per esempio pensa all'oscillatore armonico. La sua equazione caratteristica è
$y'' +ky=0$
è vero che la soluzione generica è
$A*(cosx +- isenx)$, solo che non sappiamo dare un significato preciso al termine immaginario, perché noi sappiamo associare una posizione solo a dei numeri reali.
A questo punto usiamo il fatto che le soluzioni di una omogenea formano uno spazio vettoriale e siamo apposto, otteniamo la classica equazione del moto armonico, che ha un significato fisico precisissimo e chiaro!
Scusa Gugo: scrivevamo insieme!
Perfetto, ho capito, grazie mille!!
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