Equazione differenziale omogenea
Salve a tutti. Premetto che so come si svolgoo le equazioni differenziali ma sono rimasto molto stupito nel leggere il eguente esercizio:
Determinare un'equazione differenziale omogenea ed a coefficienti costanti che ammette le seguenti soluzioni:
$y_1=1$ ; $y_2=x$
Dalle soluzioni devo trovare l'equazione...per me è una grandissima novità! Qualcuno sa aiutarmi?
Determinare un'equazione differenziale omogenea ed a coefficienti costanti che ammette le seguenti soluzioni:
$y_1=1$ ; $y_2=x$
Dalle soluzioni devo trovare l'equazione...per me è una grandissima novità! Qualcuno sa aiutarmi?
Risposte
Puoi cercare, per esempio, una equazione lineare del secondo ordine che abbia per integrale generale \(y = c_1 + c_2 x\).
(Senza fare troppa fatica, si tratta di funzioni con derivata seconda nulla...)
(Senza fare troppa fatica, si tratta di funzioni con derivata seconda nulla...)
Potrebbe essere questa una soluzione del mio esercizio?
$y''-2y'+1=0$
che ha per soluzione
$y=e^x(c_1+c_2x)$
oppure nn ho capito nulla del tuo suggerimento?
$y''-2y'+1=0$
che ha per soluzione
$y=e^x(c_1+c_2x)$
oppure nn ho capito nulla del tuo suggerimento?
Vedi che c'è un esponenziale di troppo, no?
L'integrale generale deve essere \(y = c_1 + c_2 x\), senza altri pezzi.
L'integrale generale deve essere \(y = c_1 + c_2 x\), senza altri pezzi.
Purtroppo si!
Speriamo che non sto per srivere una sciocchezza.
L'equazione potrebbe essere questa
$y''=0$
in quanto, passando all'omogenea associata si ha che
$\lambda^2=0$ che ha $\Delta=0$ e $\lambda=0$
Quando l'equazione omogenea associata di un'equazione differenziale ha $\Delta=0$ quest'ultima ha soluzione $y=c_1e^(\lambdax) + c_2xe^(\lambdax)$
essendo $\lambda=0$ quindi $e^0=1$
sostituendo nella soluzione si ottiene $y=c_1+c_2x$
Va bene questo ragionamento?
L'equazione potrebbe essere questa
$y''=0$
in quanto, passando all'omogenea associata si ha che
$\lambda^2=0$ che ha $\Delta=0$ e $\lambda=0$
Quando l'equazione omogenea associata di un'equazione differenziale ha $\Delta=0$ quest'ultima ha soluzione $y=c_1e^(\lambdax) + c_2xe^(\lambdax)$
essendo $\lambda=0$ quindi $e^0=1$
sostituendo nella soluzione si ottiene $y=c_1+c_2x$
Va bene questo ragionamento?
Ciao, e mi scuso per l'intromissione. La soluzione mi sembra corretta, il ragionamento un po' macchinoso. Dal momento che hai le soluzioni a priori, puoi verificare se la tua proposta di soluzione è corretta semplicemente sostituendo. Dal momento che per__$y_1=1$__e per__$y_2=x$__è:__$y''_(1,2)=0$__, allora__$y''=0$__è un'equazione omogenea di cui__$y_(1,2)$__sono soluzioni, come da richiesta.
Palliit la tua non è un intromissione. Tutti i consigli sono ben accetti!!!!
Come ti ha detto palliit, la soluzione è corretta ma anche troppo macchinosa.
(Prova a rileggere la seconda riga del mio primo post...)
(Prova a rileggere la seconda riga del mio primo post...)
Rigel ho preso in considerazione il tuo post e per questo ti ringrazio! La mia soluzione era per vedere se ho capito come si svolge la tipologia di esercizio!!! Grazie davvero ad entrambi!
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