io però non vedo la soluzione y=f(x) o quantomeno una relazione tra y ed x ,bypassando la t
partiamo da qui
\(\displaystyle \int \frac{dx}{x} =\int - \frac{t+1}{t^2+1}dt\)
cioè
\(\displaystyle lnx=-ln\sqrt{1+t^2} -arctgt-lnc\) con c>0
cioè
\(\displaystyle ln(cx \sqrt {1+t^2})=-arctgt\)
quindi
\(\displaystyle cx \sqrt {1+\frac{y^2}{x^2}}=e^{-arctg\frac{y}{x}}\)
essendo sempre x>0 è lecito questo passaggio
\(\displaystyle c\sqrt{x^2+y^2} =e^{-arctg\frac{y}{x}}\)
la condizione y(1)=0 implica c=1
la soluzione del problema di cauchy è allora data in forma implicita dall'equazione
\(\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=e^{-arctg\frac{y}{x}} \)
Tanto per cambiare (ma, soprattutto, per mostrare agli "esterni" come si fa un bel post sulle EDO ), facciamoci un bello studio qualitativo delle soluzioni massimali della EDO:
\[
\tag{1}
y^\prime (x) = \frac{y(x) - x}{y(x) + x}\; .
\]
1. Classificazione della EDO.
La EDO assegnata è del primo ordine, nonlineare, ed il suo secondo membro è dato dalla funzione definita dall'assegnazione:
\[
f(x,y):= \frac{y-x}{y+x}
\]
nell'insieme \(\Omega\) coincidente col piano \(\mathbb{R}^2\) privato dei punti della bisettrice del secondo e quarto quadrante, i.e.:
\[
\Omega := \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ y+x\neq 0\right\}\; ,
\]
come disegnato sotto.
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; line([-6,6],[6,-6]);[/asvg]
2. Esistenza di soluzioni.
Visto che il secondo membro è di classe \(C^\infty (\Omega)\) (ed addirittura analitico), il teorema di esistenza ed unicità locale si applica e garantisce l'esistenza e l'unicità, per ogni coppia \((x_0,y_0)\in \Omega\), di soluzioni al PdC:
\[
\tag{2}
\begin{cases}
y^\prime (x) = \frac{y(x)-x}{y(x)+x}\\
y(x_0)=y_0\; .
\end{cases}
\]
La soluzione locale al PdC (2) può essere prolungata ad un soluzione massimale, che denoteremo col simbolo \(y(\cdot;x_0,y_0)\), definita in un intervallo del tipo \(]X_-,X^+[\) tale che \(X_-
Inoltre, data la forma del dominio \(\Omega\), è evidente che le soluzioni massimali non attraversano la bisettrice del secondo e quarto quandrante; in altre parole, se \(y_0>-x_0\) [risp. \(y_0< -x_0\)] allora \(y(x;x_0,y_0)>-x\) [risp. \(y(x;x_0,y_0)<-x\)] in \(]X_-,X^+[\).
Infine, è bene notare che la EDO (1) non ha alcuna soluzione stazionaria, i.e. nessun applicazione costante \(y(x)=c\) risolve la EDO.
3. Studio della monotonia delle soluzioni massimali.
Un semplice studio del segno di \(f\) mostra che si ha:
\[
f(x,y)\geq 0\ \text{[risp. } \leq 0 \text{]}\quad \Leftrightarrow \quad |y|\geq |x|\ \text{[risp. } |y|\leq|x|\text{]}
\]
quindi:
\[
y(x;x_0,y_0) \text{ è crescente}\quad \Leftrightarrow \quad y(x;x_0,y_0)\geq |x|\ \text{ oppure } y(x;x_0,y_0)\leq -|x|
\]
e:
\[
y(x;x_0,y_0) \text{ è decrescente}\quad \Leftrightarrow \quad -|x|\leq y(x;x_0,y_0)\leq |x|\; .
\]
Conseguentemente, si può fare il seguente diagramma di monotonia:
[asvg]axes("","");
stroke="grey"; line([-6,-6],[6,6]);
stroke="red"; strokewidth=2; line([-6,6],[6,-6]);
strokewidth=1; stroke="black"; marker="arrow"; line([-3,4],[-2,5]); line([-0.5,2],[0.5,3]); line([2,4],[3,5]);
line([-3,-5],[-2,-4]); line([-0.5,-3],[0.5,-2]); line([2,-5],[3,-4]);
line([4,-2],[5,-3]); line([2,0.5],[3,-0.5]); line([4,3],[5,2]);
line([-5,-2],[-4,-3]); line([-3,0.5],[-2,-0.5]); line([-5,3],[-4,2]);[/asvg]
da cui si evince che la bisettrice del primo e del terzo quadrante è il luogo dei massimi assoluti per le soluzioni massimali che soddisfano \(y(x;x_0,y_0)>-x\) in \(]X_-,X^+[\) e dei minimi assoluti per le soluzioni massimali che soddisfano \(y(x;x_0,y_0)<-x\) in \(]X_-,X^+[\).
4. Studio della convessità.
Dato che ogni soluzione massimale della EDO (1) è di classe \(C^\infty\), possiamo calcolarne la derivata seconda usando la EDO stessa.
Derivando ambo i membri della (1), troviamo:
\[
\begin{split}
y^{\prime \prime}(x) &= \left( 1- \frac{2x}{y(x)+x}\right)^\prime\\
&= -2\ \frac{(y(x)+x) - x\ (y^\prime (x)+1)}{(y(x)+x)^2}\\
&= -2\ \frac{y(x) - x\ \frac{y(x) - x}{y(x) + x}}{(y(x)+x)^2}\\
&= -2\ \frac{y^2(x) +x^2}{(y(x) + x)^3}
\end{split}
\]
sicché:
\[
y^{\prime \prime} (x)\geq 0\ \text{[risp. } \leq 0\text{]}\quad \Leftrightarrow \quad y(x)\leq -x\ \text{[risp. } \geq -x\text{]}\; .
\]
Conseguentemente, le soluzioni massimali tali che \(y(x;x_0,y_0)>-x\) [risp. \(y(x;x_0,y_0)<-x\)] sono concave [risp. convesse], i.e. si può fare il seguente diagramma di convessità:
[asvg]axes("","");
strokewidth=2; stroke="red"; line([-6,6],[6,-6]);
text([2,3],"soluzioni concave"); text([-3,-3],"soluzioni convesse");[/asvg]
Per comodità, nel seguito il semipiano individuato dalla disuguaglianza \(y>-x\) [risp. \(y<-x\)] saà denotato con \(\Omega_{\rm conc}\) [risp. \(\Omega_{\rm conv}\)].
5. Determinazione dell'insieme di esistenza massimale.
Supponiamo che la soluzione massimale soddisfi \(y(x;x_0,y_0)>-x\) in \(]X_-,X^+[\), i.e. che il suo grafico giaccia in \(\Omega_{\rm conc}\). Per monotonia, esistono entrambi i limiti:
\[
\lim_{x\to X_-} y(x;x_0,y_0) \qquad \text{e}\qquad \lim_{x\to X^+} y(x;x_0,y_0)\; ;
\]
detta \(\xi =\xi (x_0,y_0) \in ]X_-,X^+[\) l'ascissa del punto di massimo assoluto di \(y(\cdot ;x_0,y_0)\) (esistente per concavità), per il teorema di regolarità delle funzioni monotone si ha:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to X_-} y(x;x_0,y_0) &= \inf_{x\in ]X_-,\xi]} y(x;x_0,y_0)\\
\lim_{x\to X^+} y(x;x_0,y_0) &= \inf_{x\in [\xi,X^+[} y(x;x_0,y_0)\; ;
\end{split}
\]
d'altra parte, per le limitazioni imposte alla soluzione massimale, si ha \(y(x;x_0,y_0)>-x\geq -\xi\) se \(x\in ]X_-,\xi]\) e \(y(x;x_0,y_0)>-x>-X^+\) per \([\xi, X^+[\) ergo gli estremi inferiori ai secondi membri delle precedenti esistono entrambi finiti e perciò:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to X_-} y(x;x_0,y_0) =l\\
\lim_{x\to X^+} y(x;x_0,y_0) =L\; .
\end{split}
\]
Per noti teoremi sulla prolungabilità degli integrali massimali, i punti \((X_-,l)\) ed \((X^+,L)\) devono appartenere alla frontiera di \(\Omega\) (altrimenti la soluzione massimale sarebbe prolungabile o a sinistra di \(X_-\), o a destra di \(X^+\), contro l'assunta massimalità dell'intervallo di definizione); perciò \(l=-X_-\) e \(L=-X^+\).
D'altra parte, dai diagrammi di monotonia e di convessità segue immediatamente che \(X_-<00\), il grafico della soluzione dovrebbe partire dal punto \((X_-,-X_-)\) della bisettrice II-IV sito nel quarto quadrante ed essere concavo con derivata negativa lì intorno, e dunque con \(\lim_{x\to X_-} y^\prime (x;x_0,y_0)=-\infty\)... il che è assurdo. Analogamente si ragiona se si suppone \(X^+<0\).[/nota], sicché in particolare:
\[
\lim_{x\to X_-} y^\prime (x;x_0,y_0) = +\infty \quad \text{e} \quad \lim_{x\to X^+} y^\prime (x;x_0,y_0)=-\infty\; ,
\]
quindi negli estremi c'è blow-up della derivata prima (per questo le soluzioni non si possono prolungare oltre!).
Analoghi ragionamento e conclusioni se il grafico della soluzione massimale cade nel semipiano \(\Omega_{\rm conv}\).
Quindi, in ogni caso \(]X_-,X^+[\) è un intervallo limitato agli estremi del quale c'è blow-up della derivata prima.
6. Determinazione della soluzione del PdC.
Data l'omogeneità del secondo membro, si può pensare di usare una sostituzione del tipo \(y(x)=x\ u(x)\) per determinare le soluzioni (non massimali!) i cui grafici giacciono in \(\Omega\) privato dell'asse delle ordinate.
Se la condizione iniziale \((x_0,y_0)\) accoppiata al PdC (2) ha \(x_0> 0\), allora la soluzione determinata tramite sostituzione avrà grafico in \(\Omega_1:=\Omega_{\rm conc}\cap \{x>0\}\) se \(y_0>-x_0\) o in \(\Omega_4:=\Omega_{\rm conv} \cap \{x>0\}\) se \(y_0<-x_0\); viceversa, se \(x_0<0\), allora la soluzione trovata per sostituzione avrà grafico in \(\Omega_2:=\Omega_{\rm conc}\cap \{ x<0\}\) se \(y_0>-x_0\) o in \(\Omega_3:= \Omega_{\rm conv} \cap \{x<0\}\) se \(y_0<-x_0\).
[asvg]axes("","");
stroke="yellow"; line([0,-6],[0,6]);
stroke="red"; strokewidth=2; line([-6,6],[6,-6]);
text([3,2],"Ω1"); text([-2,3],"Ω2"); text([-3,-2],"Ω3"); text([2,-3],"Ω4");[/asvg]
D'altro canto, dato che ogni soluzione locale si prolunga in una massimale, è chiaro che esiste finito il limite \(\lim_{x\to 0^+} y(x)\) [risp. \(\lim_{x\to 0^+} y(x)\)] per ogni soluzione locale che ha il grafico giacente nel semipiano \(x>0\) [risp. \(x<0\)].
Conseguentemente, per ottenere il grafico di una soluzione massimale bisogna "incollare" due opportune soluzioni locali: in particolare, se \(y(\cdot;x_0,y_0)\) ha il grafico in \(\Omega_{\rm conc}\) [risp. \(\Omega_{\rm conv}\)] bisogna incollare due soluzioni locali aventi grafici rispettivamente in \(\Omega_1\) ed \(\Omega_2\) [risp. in \(\Omega_3\) ed \(\Omega_4\)].
Analiticamente, queste difficoltà si traducono nel dover risolvere la EDO "a pezzettini", i.e. nel risolvere due distinti PdC e nell'imporre la continuità del raccordo di soluzioni in \(0\). Questi sono contazzi semplici e li lasciamo volentieri al lettore.
Tuttavia, come mostriamo qui di seguito, esiste un modo semplice di ovviare a questo fatto: esso si basa sull'interpretare la EDO come una versione semplificata di un sistema di EDO in cui entrabe \(x\) ed \(y\) rientrano come funzioni incognite di un parametro \(t\).
In altre parole, il nuovo sistema di EDO avrà come soluzioni massimali delle curve del piano, dette curve integrali della (1), le quali coincideranno localmente con le soluzioni massimali della (1).
7. Determinazione delle curve integrali.
Un semplice schizzo di quel che ci aspettiamo come grafico di una soluzione massimale della EDO (1) ci porta a supporre che la curva integrale cercata sia esprimibile in forma polare, i.e. nella forma:
\[
\tag{3}
\begin{cases} x(t) = r(t)\ \cos t\\
y(t) = r(t)\ \sin t
\end{cases}
\]
con \(r:\mathbb{R}\to ]0,\infty[\) "sufficientemente regolare" (nello specifico, di classe \(C^\infty\)).
Quindi cerchiamo di determinare la funzione \(r(\cdot)\) usando il PdC (2) e le relazioni (3): derivando le (3) troviamo:
\[
\begin{cases} \dot{x}(t) = \dot{r}(t)\ \cos t - r(t)\ \sin t\\
\dot{y} (t) = \dot{r} (t)\ \sin t + r(t)\ \cos t
\end{cases}
\]
(in cui, come usuale, il puntino denota derivazione rispetto al parametro); d'altro canto, lì dove effettivamente possibile, risulta:
\[
y^\prime (x) = \left. \frac{\dot{y}(t)}{\dot{x(t)}} \right|_{t=t(x)}\; ;
\]
da ciò segue che la EDO (1) si riscrive localmente come:
\[
\frac{\dot{y}(t)}{\dot{x(t)}} = \frac{y(t) - x(t)}{y(t) + x(t)}\; .
\]
Sostituendo nell'ultima relazione l'espressione esplicita di \(x\), \(y\), \(\dot{x}\) e \(\dot{y}\) e liberando dai denominatori, troviamo la semplicissima EDO:
\[
\tag{4}
\dot{r}(t) = -r(t)\; ,
\]
alla quale va accoppiata la condizione iniziale:
\[
\tag{5}
r(t_0)=\sqrt{x_0^2 +y_0^2}\; ,
\]
in cui \(t_0\) è un argomento di \((x_0,y_0)\) (e.g., l'argomento principale).
Da (4) e (5) segue immediatamente:
\[
r(t;x_0,y_0) = \sqrt{x_0^2+y_0^2}\ e^{t_0-t}\; , t\in \mathbb{R}
\]
dunque le curve integrali massimali di (1) sono le curve di equazione:
\[
\begin{cases}
x(t) = \sqrt{x_0^2+y_0^2}\ e^{t_0-t}\ \cos t\\
y(t) = \sqrt{x_0^2+y_0^2}\ e^{t_0-t}\ \sin t
\end{cases} \qquad ,\ t\in \mathbb{R}
\]
ossia delle "banalissime" spirali logaritmiche che si avvolgono in senso antiorario attorno al punto \((0,0)\).[nota]A latere, noto che ciò equivale a dire che \((x^*(t),y^*(t)):=(0,0)\) è un equilibrio asintoticamente stabile del sistema di EDO:
\[
\begin{cases}
\dot{x}(t) = x(t) + y(t)\\
\dot{y}(t) = -x(t) + y(t)
\end{cases}
\]
che si ricava dall'espressione locale di (1) usata in un passaggio intermedio.[/nota]
Ne viene che il grafico di ogni soluzione massimale \(y(\cdot ; x_0,y_0)\) è un ramo di spirale logaritmica con estremi sulla bisettrice II-IV.
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