Equazione differenziale non omogenea[Problema risoluzione]
Ciao a tutti eccomi con un altro problema che non riesco a risolvere.. 
Spero che qualcuno possa risolverlo...
$ { ( y''-2y'+y=(e^x)/(x+2) ),( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ):} $
Ho iniziato con il risolvere l'omogenea associata..
$ t^2-2t+1=0 $
ottenendo come soluzione dell'equazione
$ y=Ce^x+Cxe^x $
Successivamente sono passato alla NON omogenea
Ho provato a risolverla con la tecnica degli Annichilatori..
$ y=(Ax+B)e^x $
$ y'=(Ax+A+B)e^x $
$ y''=(Ax+2A+B)e^x $
Cercando di arrivare con le derivate alle soluzioni della A e B ,ma senza risultato..
ciao
Spero che qualcuno possa risolverlo...
$ { ( y''-2y'+y=(e^x)/(x+2) ),( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ):} $
Ho iniziato con il risolvere l'omogenea associata..
$ t^2-2t+1=0 $
ottenendo come soluzione dell'equazione
$ y=Ce^x+Cxe^x $
Successivamente sono passato alla NON omogenea
Ho provato a risolverla con la tecnica degli Annichilatori..
$ y=(Ax+B)e^x $
$ y'=(Ax+A+B)e^x $
$ y''=(Ax+2A+B)e^x $
Cercando di arrivare con le derivate alle soluzioni della A e B ,ma senza risultato..
ciao
Risposte
Ciao
ho guardato il tutto molto velocemente, quindi potrei stare sbagliando qualcosa:
credo che il problema derivi dal fatto che il polinomio in A e B che hai preso tu non ha lo stesso grado del polinomio che moltiplica l'esponenziale.
Tu hai preso un polinomio di primo grado, mentre a moltiplicare l'esponenziale hai $(x+2)^{-1}$
inoltre hai verificato se 1 è una soluzione dell'omogenea associata, in tal caso la soluzione non sarebbe
[tex]Q(x)e^{\lambda x}[/tex] ma [tex]x^{m} Q(x)e^{\lambda x}[/tex] dove $m$ è la molteplicità della soluzione $\lambda$
al massimo prova con il metodo di variazione delle costanti
so di averti risposto molto alla veloce
Se non ti è chiaro qualcosa chiedi pure, più tardi ho tempo e ti posso aiutare con più calma
ho guardato il tutto molto velocemente, quindi potrei stare sbagliando qualcosa:
credo che il problema derivi dal fatto che il polinomio in A e B che hai preso tu non ha lo stesso grado del polinomio che moltiplica l'esponenziale.
Tu hai preso un polinomio di primo grado, mentre a moltiplicare l'esponenziale hai $(x+2)^{-1}$
inoltre hai verificato se 1 è una soluzione dell'omogenea associata, in tal caso la soluzione non sarebbe
[tex]Q(x)e^{\lambda x}[/tex] ma [tex]x^{m} Q(x)e^{\lambda x}[/tex] dove $m$ è la molteplicità della soluzione $\lambda$
al massimo prova con il metodo di variazione delle costanti
so di averti risposto molto alla veloce
Se non ti è chiaro qualcosa chiedi pure, più tardi ho tempo e ti posso aiutare con più calma
Puoi provare con una cosa del tipo:
[tex]y= \left[Ax\log(x+2)+B\log(x+2)+C\right]\ e^x[/tex]
Non l'ho sviluppata fino in fondo per cui non garantisco nulla, però mi sembra dia buone speranze.
[tex]y= \left[Ax\log(x+2)+B\log(x+2)+C\right]\ e^x[/tex]
Non l'ho sviluppata fino in fondo per cui non garantisco nulla, però mi sembra dia buone speranze.
Guarda ,il metodo delle variazioni delle costanti non lo abbiamo fatto a lezione,cmq
Il polinomio che moltiplica e^x è di primo grado quindi non credo sia quello il problema...
Il polinomio che moltiplica e^x è di primo grado quindi non credo sia quello il problema...
"Quinzio":
Puoi provare con una cosa del tipo:
[tex]y= \left[Ax\log(x+2)+B\log(x+2)+C\right]\ e^x[/tex]
Non l'ho sviluppata fino in fondo per cui non garantisco nulla, però mi sembra dia buone speranze.
Grazie ma come ci arrivo a questo???
"Gianni91":
[quote="Quinzio"]Puoi provare con una cosa del tipo:
[tex]y= \left[Ax\log(x+2)+B\log(x+2)+C\right]\ e^x[/tex]
Non l'ho sviluppata fino in fondo per cui non garantisco nulla, però mi sembra dia buone speranze.
Grazie ma come ci arrivo a questo???
[/quote]L'unica risposta che ti posso dare è "ingegnandosi".
beh mi sembra giusto...
"Gianni91":
beh mi sembra giusto...
Anzi adesso che ci penso può darsi che serva anche un $Axe^x$ così da avere:
[tex]y= \left[Ax\log(x+2)+B\log(x+2)+Cx+D\right]\ e^x[/tex]
male non fa, la massimo viene C=0
In ogni caso non so come concludere..
Io ti consiglio di studiarti il metodo delle costanti, non è così complicato ed è molto meglio che andare a naso con le soluzioni particolari..
"Giuly19":
Io ti consiglio di studiarti il metodo delle costanti, non è così complicato ed è molto meglio che andare a naso con le soluzioni particolari..
condivido completamente
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