Equazione differenziale non omogenea

[alemar05]

Ciao a tutti, mi servirebbe un aiuto per lo svolgimento di questa equazione differenziale
$ y''-4y'+3y=3e^(2x $
Ho risolto l'equazione caratteristica ed ottengo
$ y_o=c_1e^x+c_2e^(3x) $

$ { ( c_1'(x)e^x+c_2'(x)e^(3x)=0 ),( c_1'(x)e^x+3c_2'(x)e^(3x)=3e^(2x) ):} $

Da cui si ottiene $ { ( c_1'(x)=-3/2e^x ),( c_2'(x)=3/(2e^x) ):} $

Dunque svolgento i due integrali $ { ( c_1(x)=-3/2e^x ),( c_2(x)=-3/(2e^x) ):} $

In conclusione $ y=c_1e^x+c_2e^(3x)-3/2e^x-3/(2e^x) $

Nel risultato però c'è scritto che la $ y_p=-3e^(2x) $
Dove ho sbagliato?

[seb1]

Tutta la metodologia (di Lagrange) che hai utilizzato è finalizzata a determinare una soluzione particolare che nella tua notazione è della forma \(y_p(x)=c_1(x)y_1+c_2y_2\) con \(y_1\),\(y_2\) soluzioni dell'omogenea associata. Peraltro risulta evidente che la soluzione particolare dev'essere del tipo \(y_p=ke^{2x},\>k\in\mathbb{R}\) e quindi non serviva scomodare tanto.

[alemar05]

"seb":Tutta la metodologia (di Lagrange) che hai utilizzato è finalizzata a determinare una soluzione particolare che nella tua notazione è della forma \(y_p(x)=c_1(x)y_1+c_2y_2\) con \(y_1\),\(y_2\) soluzioni dell'omogenea associata. Peraltro risulta evidente che la soluzione particolare dev'essere del tipo \(y_p=ke^{2x},\>k\in\mathbb{R}\) e quindi non serviva scomodare tanto.

Come capisci a priori che $ y_p=ke^(2x) $ ?

[seb1]

Perché se \(y=e^{jx},\>j\in\mathbb{R}\) qualunque sua derivata è proporzionale a \(e^{jx}\):\[y=e^{jx}\implies\frac{\mathrm{d}^\varpi y}{\mathrm{d}x^\varpi}\propto e^{jx},\>\forall\varpi\in\mathbb{N}\]Allora una combinazione lineare di una tale funzione \(y\) e di sue derivate è una combinazione lineare di \(e^{jx}\). Dal momento, poi, che tale combinazione lineare deve eguagliare il termine noto \(3e^{2x}\) deve aversi \(j=2\) e si risolve la concordanza della costante moltiplicativa imponendo \(y=ke^{2x}\). Inserendo nell'equazione differenziale e risolvendo per \(k\) si ottiene:\[4ke^{2x}-8ke^{2x}+3ke^{2x}=3e^{2x}\implies k=-3\]Complessivamente: \(y=-3e^{2x}\). Tale soluzione, infine, è soluzione particolare poiché non rientra nell'insieme delle soluzioni dell'omogenea associata oppure perché è definita da un solo valore di \(k\).