Equazione Differenziale non normale
Ciao a tutti.
Ho un dubbio per quanto riguarda questo studio del problema di Cauchy e spero possiate aiutarmi.
$2y-x(y'+4/y')=0$ con $y(1)=y'(1)=2$ $\Rightarrow$ eq.diff. non normale del tipo: $y=\phi(x,y')$
-Mi sono chiesto se in questo caso specifico posso o meno capire anticipatamente se l'equazione ammette una o più soluzioni. E non capisco come farlo utilizzando il teorema di esistenza ed unicità locale.
-Per quanto riguarda il calcolo alla fine ottengo un espressione così:
avendo posto inizialmente $ y'=dx/dy=p \Rightarrow (p^2+4)/p= xC$ con $ c=ln(C)$
Infatti negli ultimi passaggi del calcolo ottengo $ -ln|p|+ln|p^2+4|=ln|x|+c$ ponendo $c=lnC \Rightarrow ln|(p^2+4)/p|=ln|xC|$
Alla fine quindi ho:
\begin{cases}
x=\frac{p^2+4}{pC} & \\
y= \frac{p^2+4}{2pC(p+\frac{4}{p})} \\
\end{cases}
Giunti a questo punto data la prima equazione posso ricavarmi C in quanto $y(1)=y'(1)=2$ e mi viene $C=4 \Rightarrow c=ln(4)$, poi adesso per avere la mia $y(x)$ basta che sostituisco il tutto nella seconda espressione del sistema. E' giusto? O sto sbagliando qualcosa?
Grazie!!
Ho un dubbio per quanto riguarda questo studio del problema di Cauchy e spero possiate aiutarmi.
$2y-x(y'+4/y')=0$ con $y(1)=y'(1)=2$ $\Rightarrow$ eq.diff. non normale del tipo: $y=\phi(x,y')$
-Mi sono chiesto se in questo caso specifico posso o meno capire anticipatamente se l'equazione ammette una o più soluzioni. E non capisco come farlo utilizzando il teorema di esistenza ed unicità locale.
-Per quanto riguarda il calcolo alla fine ottengo un espressione così:
avendo posto inizialmente $ y'=dx/dy=p \Rightarrow (p^2+4)/p= xC$ con $ c=ln(C)$
Infatti negli ultimi passaggi del calcolo ottengo $ -ln|p|+ln|p^2+4|=ln|x|+c$ ponendo $c=lnC \Rightarrow ln|(p^2+4)/p|=ln|xC|$
Alla fine quindi ho:
\begin{cases}
x=\frac{p^2+4}{pC} & \\
y= \frac{p^2+4}{2pC(p+\frac{4}{p})} \\
\end{cases}
Giunti a questo punto data la prima equazione posso ricavarmi C in quanto $y(1)=y'(1)=2$ e mi viene $C=4 \Rightarrow c=ln(4)$, poi adesso per avere la mia $y(x)$ basta che sostituisco il tutto nella seconda espressione del sistema. E' giusto? O sto sbagliando qualcosa?
Grazie!!
Risposte
Perdonami hai ragione! Non me ne sono accorto 
"Dr.Hermann":
Mi sono chiesto se, in questo caso specifico, posso o meno capire anticipatamente se l'equazione ammette una o più soluzioni.
Una cosa è certa. Oltre alla soluzione indicata da pilloeffe nell'altro messaggio:
$y=x^2+1$
anche:
$y=2x$
è soluzione. Puoi facilmente rendertene conto in forma normale (equazione di Manfredi):
$[(dy)/(dx)=y/x+-sqrt(y^2/x^2-4)] ^^[y/x=m] rarr [m=m+-sqrt(m^2-4)] rarr [m=+-2]$
Poiché:
mi sembra di capire che tu abbia cercato di risolverla come equazione di Lagrange:
In questo caso è necessario risolvere la seguente equazione differenziale lineare:
Nel caso in esame:
A questo punto:
P.S.
A rigore, il problema di Cauchy per un'equazione differenziale del 1° ordine richiederebbe la condizione iniziale solo sulla funzione e non anche sulla derivata. Tuttavia, nonostante la condizione aggiuntiva, la soluzione non è unica:
$[2y-x(y'+4/(y'))=0] ^^ [y'=p] rarr [y=(p^2+4)/(2p)*x]$
mi sembra di capire che tu abbia cercato di risolverla come equazione di Lagrange:
$[y=\varphi_1(p)*x+\varphi_2(p)] ^^ [\varphi_1(p)=(p^2+4)/(2p)] ^^ [\varphi_2(p)=0]$
In questo caso è necessario risolvere la seguente equazione differenziale lineare:
$[\varphi_1(p)-p]*(dx)/(dp)+\varphi'_1(p)*x+\varphi'_2(p)=0$
Nel caso in esame:
$[(p^2-4)/(2p)(dx)/(dp)-(p^2-4)/(2p^2)x=0] rarr [(dx)/(dp)-1/px=0] vv [p=+-2]$
A questo punto:
$[p=+-2] rarr [y=+-2x]$
$[(dx)/(dp)-1/px=0] rarr [x=cp] ^^ [y=c/2p^2+2c] rarr [y=1/(2c)x^2+2c]$
P.S.
A rigore, il problema di Cauchy per un'equazione differenziale del 1° ordine richiederebbe la condizione iniziale solo sulla funzione e non anche sulla derivata. Tuttavia, nonostante la condizione aggiuntiva, la soluzione non è unica:
$[y=x^2+1] vv [y=2x]$
tutto chiaro adesso,grazie!!
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