Equazione differenziale non lineare del primo ordine
Sia data $y^{'}=\frac{y^2-1}{xy}$
Dopo avere notato che $y=\pm1$ sono soluzioni, separando le variabili si ha:
$\frac{y}{y^2-1}dy=\frac{1}{x}dx$
da cui $\int\frac{y}{y^2-1}dy-\int\frac{1}{x}=0$
cioè $1/2log|y^2-1|-log|x|=logc$ da cui $y=\pm\sqrt{cx^2+1}$
Il testo, invece, porta le soluzioni:
$x=c_1\sqrt{|y^2-1|}; c_1>0,x>0,y>0$
$x=c_2\sqrt{|y^2-1|}; c_2>0, x<0, y>0 $
$x=c_3\sqrt{|y^2-1|}; c_3>0, x>0, y<0$
$x=c_4\sqrt{|y^2-1|}; c_4<0, x<0,y<0$
chi ha ragione?
Dopo avere notato che $y=\pm1$ sono soluzioni, separando le variabili si ha:
$\frac{y}{y^2-1}dy=\frac{1}{x}dx$
da cui $\int\frac{y}{y^2-1}dy-\int\frac{1}{x}=0$
cioè $1/2log|y^2-1|-log|x|=logc$ da cui $y=\pm\sqrt{cx^2+1}$
Il testo, invece, porta le soluzioni:
$x=c_1\sqrt{|y^2-1|}; c_1>0,x>0,y>0$
$x=c_2\sqrt{|y^2-1|}; c_2>0, x<0, y>0 $
$x=c_3\sqrt{|y^2-1|}; c_3>0, x>0, y<0$
$x=c_4\sqrt{|y^2-1|}; c_4<0, x<0,y<0$
chi ha ragione?
Risposte
Sono esattamente la stessa cosa?
In altri termini, la soluzione in forma implicita mi pare essere una cosa del tipo \(cx^2=y^2-1\), quindi siamo lì.
In altri termini, la soluzione in forma implicita mi pare essere una cosa del tipo \(cx^2=y^2-1\), quindi siamo lì.
"gugo82":
Sono esattamente la stessa cosa?
in effetti si
Però, nota che scrivere \(y=\pm \sqrt{cx^2+1}\) è un errore.
"gugo82":
Però, nota che scrivere \(y=\pm \sqrt{cx^2+1}\) è un errore.
\(y=-\sqrt{cx^2+1}\) e \(y=\sqrt{cx^2+1}\) ?
@gugo 82
perché $\pm$ è errato? inizio a strappare questo libro?
"Risolvere una EDO di ordine \(N\)" di solito significa individuarne esplicitamente l'integrale generale, i.e. quell'applicazione di \(\mathbb{R}^N\) sull'insieme delle soluzioni, e gli eventuali integrali singolari.
Molte volte, nel caso \(N=1\), soprattutto con le equazioni a differenziale esatto (come in questo caso), capita che l'integrale generale sia esprimibile in forma implicita, cioé attraverso un'equazione del tipo \(F(x,y;c)=0\) (qui \(c\) è una costante arbitraria); tuttavia, tale forma implicita non sempre può essere esplicitata in modo da fornire \(y\) in funzione di \(x\): quindi in tali casi non si riesce a "risolvere la EDO".
Nel caso in esame, la soluzione della EDO è data in forma implicita da:
\[
cx^2+y^2-1=0
\]
e questa equazione non si può esplicitare rispetto a \(y\) senza fornire informazioni aggiuntive... Ad esempio, se \(c=1\), si ottiene \(x^2+y^2-1=0\), la quale equazione non individua univocamente la \(y\) in funzione di \(x\).
Quindi, in questi casi, il problema della determinazione esplicita dell'integrale generale, ossia della "risoluzione della EDO", è mal posto.
L'unico modo per ovviare a questi problemi, quando si presentano, è assegnare condizioni che rendano possibile individuare univocamente le soluzioni; proprio per questo nella teoria delle EDO si risolvono problemi di Cauchy (nei quali si assegnano i "valori iniziali" della funzione incognita e delle sue prime \(N-1\) derivate in un medesimo punto).
Molte volte, nel caso \(N=1\), soprattutto con le equazioni a differenziale esatto (come in questo caso), capita che l'integrale generale sia esprimibile in forma implicita, cioé attraverso un'equazione del tipo \(F(x,y;c)=0\) (qui \(c\) è una costante arbitraria); tuttavia, tale forma implicita non sempre può essere esplicitata in modo da fornire \(y\) in funzione di \(x\): quindi in tali casi non si riesce a "risolvere la EDO".
Nel caso in esame, la soluzione della EDO è data in forma implicita da:
\[
cx^2+y^2-1=0
\]
e questa equazione non si può esplicitare rispetto a \(y\) senza fornire informazioni aggiuntive... Ad esempio, se \(c=1\), si ottiene \(x^2+y^2-1=0\), la quale equazione non individua univocamente la \(y\) in funzione di \(x\).
Quindi, in questi casi, il problema della determinazione esplicita dell'integrale generale, ossia della "risoluzione della EDO", è mal posto.
L'unico modo per ovviare a questi problemi, quando si presentano, è assegnare condizioni che rendano possibile individuare univocamente le soluzioni; proprio per questo nella teoria delle EDO si risolvono problemi di Cauchy (nei quali si assegnano i "valori iniziali" della funzione incognita e delle sue prime \(N-1\) derivate in un medesimo punto).
in altre parole il mio libro non è affidabile
Non è il tuo libro... Questa è proprio una ambiguità insita nella pratica quotidiana.
Se vuoi, ti potrei mostrare come si può affrontare seriamente lo studio di una EDO come la tua... Ma a tuo rischio e pericolo.
P.S.: Che libro è?
Se vuoi, ti potrei mostrare come si può affrontare seriamente lo studio di una EDO come la tua... Ma a tuo rischio e pericolo.
P.S.: Che libro è?
"gugo82":
Non è il tuo libro... Questa è proprio una ambiguità insita nella pratica quotidiana.
Se vuoi, ti potrei mostrare come si può affrontare seriamente lo studio di una EDO come la tua... Ma a tuo rischio e pericolo.
P.S.: Che libro è?
Ne faccio volentieri a meno
ho avuto già modo di vederlo in un altro post.... la tua è una soluzione da ingegnere o da matematico?il libro comunque è G. Zwirner
"Andre@":
[quote="gugo82"]Se vuoi, ti potrei mostrare come si può affrontare seriamente lo studio di una EDO come la tua... Ma a tuo rischio e pericolo.
Ne faccio volentieri a meno
ho avuto già modo di vederlo in un altro post.... la tua è una soluzione da ingegnere o da matematico?[/quote]Esistono solo "soluzioni corrette" e "soluzioni scorrette", non "soluzioni da matematico" e "soluzioni da ingegnere".
"Andre@":
[quote="gugo82"]P.S.: Che libro è?
il libro comunque è G. Zwirner[/quote]
Quei libri, sebbene un po' datati, sono sempre ottimi eserciziari.
Continua pure ad usarli, ma con le dovute cautele (dettate da cambiamenti di sensibilità matematica verso i problemi negli ultimi 50 anni).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo