Equazione differenziale... non capisco...

[edoardo_ruggeri]

Salve a tutti,
ho l' equazione dv/dt = -k (v^(1/2). Io l' ho risolta cosi: v = (-kt/2)^2.... ma a quanto pare e' sbagliato... potete aiutarmi a capire dove sbaglio??

[Zkeggia]

Sai come si risolvono le equazioni differenziali a variabili separabili? non devi far altro che applicare la formula e risolvere l'integrale

http://it.wikipedia.org/wiki/Metodi_di_ ... separabili

[edoardo_ruggeri]

Io ho fatto dv/v^1/2 = -kdt
v^(-1/2) = -kdt
quindi 2v^(1/2) = -kt
v^(1/2) = -kt/2
e dunque v = (-kt/2)^2.... pero non e' giusto.
Non dovrebbe esser cosi?

[Zkeggia]

Dipende, per esempio, se k è positivo non ha senso la soluzione perché $(dv)/(dt) < 0$ sempre, mentre tu ottieni una v crescente. Se k è negativo dovrebbe andar bene (mancano le costanti ma la soluzione in se è giusta). Le condizioni iniziali le hai? il libro come ti dice?

[edoardo_ruggeri]

Il libro dice che k > 0. Poi dice che bisogna dimostrare che k = 720 tenendo conto del fatto che v = 16 e il tempo (espresso in ore) e' 1 minuto...

[Zkeggia]

C'è qualcosa che non torna. La relazione che ci dà il segno della derivata di v, se $k>0$, ci dice che la soluzione è decrescente.
Applicando la formula delle variabili separabili
$int_(16)^(v(t)) v^(-1/2)dv = int_0^(1/(60)) -kdt -> sqrt(v(t)) = (-k+480)/120$

quindi $v(t)$ crescente... non capisco, forse qualche errore nell'estrarre radici o simili? mi pare strano...


P.s quando dici $v = 16$ intendi dire $v(0)=16$?

[edoardo_ruggeri]

Possibile che ci sia qualcosa di sbagliato... pero' ho anche un altro problema... so risolvere equazioni differenziali dove non ci sono sottrazioni o addizioni, ma ancora non ho capito come si risolve analiticamente un' eqauzione differenziale del tipo: dv/dt = 12,2 - v/k , oppure 3dy/dt = 30 - y...
Se non ti disturba potresti spiegarmi come si fa? Domani ho l' esame di maturita' e devo prendere almeno un 7,5... grazie

[Zkeggia]

guarda è più semplice del previsto. Per risolvere un'equazione differenziale (non solo quelle a variabili separabili come nei tuoi casi) univocamente occorre dare almeno una condizione iniziale nota, quindi sono risolvibili con soluzione unica solo le equazioni differenziali del tipo:
$(dv)/(dt) = A(v)*b(t)$
$v(t_0) = v_0$, con $v_0$ nota e $A(v), b(t)$ funzioni qualunque

A questo punto passiamo al come si fa. Si divide per l'espressione che contiene v per ottenere
$(dv)/(dt)/(A(v)) = b(t)$
Si integra in dt
$int_(t_0)^(t) (...) dt = int_(t_0)^t b(t) dt$
facciamo che $b(t)$ sia 1 per comodità. (Nel caso generale dovrai trovare una primitiva di $b(t)$ ma si tratta di fare un'integrale.

e si opera a sinistra la sostituzione $y = v(x) -> dy = dv/dt$
e si ottiene

$int_(v_0)^(v(t)) 1 / (A(x)) dx = t_0 - t$

A questo punto si sostituisce a $v_0$ il termine che ti è stato dato e a $t_0$ il tempo a cui ti è stato dato il termine di v.

Esempio:
$(dv)/(dt) = a*v$
$v(0) = 4$

si ha
$int_(v_0)^(v(t)) 1 / (a(x)) dx = t_0 - t -> a*[ln(v(t)) - ln(v_0)] = t - t_0$.
Si sa che al tempo $t=0$ v vale $4$, si sostituisce e si ha
$ln(v(t))$ = t/a - 4 -> v(t) = e^(t/a - 4)$

nei casi che mi hai dato non sono assegnate le condizioni iniziali, quindi in generale dovrai lasciare la soluzione nella forma $ v(t) = v_0 + A(t) - A(t_0)$
esempio:
$dv/dt = 12,2 - v/k -> int_(v_0)^(v(t))1 /12,2 - v/k dv = t - t_0 -> -1/k ln (12,2 - v/k) - 1/kln (12,2 - v_0/k) = t-t_0 $ detta $C$ la costante $C = 1/k ln (12,2 - v_0/k)-t_0$ hai
$ln (12-v/k) = k (t+C) -> v(t) = -e^(k(t+C)) + 12$

in generale devi risolvere l'integrale
$int_(t_0)^(t) (...) dt = int_(t_0)^t b(t) dt$
imporre le condizioni iniziali come ti ho detto e scrivere $v(t) =...$


Spero di essere stato chiaro.


Qualche consiglio:
Se hai una roba del tipo
$(dv)/(dt) = a - kv$
1)dividi tutto per $a-kv$ e integra. Non farti cioè impressionare dal fatto che a non moltiplichi $kv$ ma stia solo a sommare.

2) per controllare se la soluzione è giusta, verifica il segno della derivata. Per esempio nel tuo primo caso la derivata è sempre minore di 0, quindi la funzione che devi ottenere DEVE essere decrescente, se non lo è c'è qualcosa che non torna nell'equazione o nella sua soluzione.


EDIT GIGANTESCO:

mi sono accorto ora che la tua domanda era come risolvere un'equazione differenziale con somme e sottrazioni, non come risolvere un'equazione differenziale. Segui il consiglio, dividi per il membro di sinistra e integra.
Se hai una roba del tipo $(dv)/(dt) = (a - kv) * (t^2 + bt)$
dividi per (a-kv) e integri in dt facendo la sostituzione che ti ho detto, come nel caso di un'eq. differenziale normale.