Equazione differenziale lineare si o no?

Johnny_Mnemonic
Salve ragà, ho trovato problemi con questa traccia di esame:

Dire se il sistema descritto dalla seguente equazione differenziale con u e y rispettivamente ingresso e uscita è lineare o non lineare.

$\frac{dy}{dt}+a*u*y-b*u^{2}=0$

Si giustifichi adeguatamente la risposta.

Io ho provato con la solita verifica del principio di sovrapposizione degli effetti ma non mi convince il risultato .... qualcuno sa darmi una dritta?

Risposte
Johnny_Mnemonic
ah dimenticavo che a,b sono coefficienti reali.

Johnny_Mnemonic
è possibile che sia un'equazione differenziale autonoma ... che vada risolta così:

$\frac{d}{dt}y(t)=-a*u(t)*y(t)+b*u^{2}(t)$

$\frac{y'(t)}{b*u^{2}(t)-a*u(t)*y(t)}=1$

Integro ambo i membri ottenendo:

$\int\frac{1}{b*u^{2}(t)-a*u(t)*y(t)}dy(t)=\int1dt+c$

$-\frac{1}{a*u(t)}\int\frac{-a*u(t)}{b*u^{2}(t)-a*u(t)*y(t)}dy(t)=t+c$

$-\frac{1}{a*u(t)}\ln\mid b*u^{2}(t)-a*u(t)*y(t)\mid=t+c$

$\ln\mid b*u^{2}(t)-a*u(t)*y(t)\mid=-a*u(t)*(t+c)$

$b*u^{2}(t)-a*u(t)*y(t)=e^{-a*u(t)*(t+c)}$

Poi ho risolto in funzione di y(t) ottenendo la risposta del sistema:

$y(t)=\frac{b*u^{2}(t)-e^{-a*u(t)*(t+c)}}{a*u(t)}$

Dopo aver ottenuto la risposta del sistema applico a questa il principio di sovrapposizione degli effetti dal quale si vede chiaramente che non è soddisfatto e quindi che il sistema non è lineare:

Qualcuno sa dirmi se il mio ragionamento è giusto?

Rigel1
L'equazione differenziale è lineare (in \(y\)), ma la domanda (anche se non molto chiara) sembra avere a che fare con la linearità della mappa di I/O \(u \mapsto y(\cdot, u)\).

Johnny_Mnemonic
quindi rigel quello che ho combinato sopra non ha nessun senso?

Rigel1
Direi di no: hai risolto l'equazione come se fosse a variabili separabili, cosa che non è.
Prova invece a risolvere l'equazione lineare in \(y\).

Johnny_Mnemonic
ok Rigel provo ... solo che a primo impatto mi era sembrata una equazione differenziale autonoma

Rigel1
Fissa un ingresso \(u\), vale a dire una funzione (diciamo continua) in un certo intervallo \(I\).
Definisci \(\alpha(t) := a\, u(t)\), \(\beta(t) := b\, u(t)^2\); la tua equazione differenziale diventa
\[
y' + \alpha(t) y = \beta(t), \qquad t\in I,
\]
che è chiaramente lineare.

Johnny_Mnemonic
è vero .... come ho fatto a non pensarci ... grande Rigel ^^

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