Equazione differenziale lineare non omogenea

[marcook1]

Vorrei avere la certezza da qualcuno sull'esattezza dello svolgimento della seguente equazione:

$y'''-4y''+5y'=10x-8$

La soluzione generale dell'equazione è data da quella generale dell'omogenea $Yo$ e da una soluzione particolare della non omogenea $Yp$

L'equazione omogenea è $y'''-4y''+5y'=0$ e l'equazione caratteristica è $\lambda^3-4\lambda^2+5\lambda=0$

L'equazione caratteristica ha 3 soluzioni, una reale $\lambda=0$ e due complesse $\lambda=2\pmi$ che producono queste soluzioni linearmente indipendenti(della omogenea): $1,e^(2x) cosx, e^(2x) sinx$

Quindi la soluzione generale della omogenea sarà: $Yo=c_{1}+e^(2x)(c_{2}cosx+c_{3}sinx)$

Adesso cerchiamo una soluzione particolare della non omogenea, dopo aver osservato che una di primo grado è soluzione dell'omogenea, quindi:

$Yr=ax^2+bx+c$
$Yr'=2ax+b$
$Yr''=2a$

Sostituendo nell'equazione data otteniamo: $0-4(2a)+5(2ax+b)=10x-8$

da questa il sistema $\{(10a=10),(-8a+5b=-8):}$ dal quale si ricava $a=1,b=0$

Quindi sostituendo in $Yr$ si ottiene la soluzione particolare $Yp=x^2$

In definitiva la soluzione sarà: $Y=Yo +Yp=c_{1}+e^(2x)(c_{2}cosx+c_{3}sinx)+x^2$

Grazie in anticipo a chi risponderà

[deserto1]

Ho controllato tutti i passaggi e ho poi verificato il risultato per sostituzione nell'equazione differenziale, direi che è tutto corretto.

[marcook1]

Grazie 1000

Vorrei fare anche una piccola domanda:

Se nell'esercizio che ho postato qui sopra, invece di cercare $Yp=ax^2+bx+c$ cerco $Yp=ax^3+bx^2+cx$, come mai riesco ad avere lo stesso risultato?