Equazione differenziale lineare non omogenea

[m911]

salve a tutti ho un equazione differenziale con il problema di Cauchy

$ { ( y^{\prime}'+y=cosx ),( y(0)=0 ),( y^{\prime}=pi/2 ):} $

l ho risolto con il metodo delle funzioni simili

quindi risolvo l equazione associata $ lambda =+i,-i $

$ Phi (x)= Phi0 (x) +y(x) $
$ Phi0 (x)=k1cosx+k2senx $

$ y(x)=x(k1cosx+k2senx) $
$ y^{\prime}(x)=k1cosx+k2senx+x(-k1senx+k2cosx) $
$ y^{\prime}'(x)=-k1senx+k2cosx-k1senx+k2cosx+x(-k1cosx-k2senx) $

quindi l integrale generale viene $ Phi (x)=k1cosx+k2senx+x(k1cosx+k2senx) $

ma mettendo le condizioni iniziali dovrei ricavare entrambe le constanti
$ 0=0 $
$ k1=pi/2 $
quindi se i conti sono fatti bene c é un modo per trovare l altra costante o la soluzione rimane semplicemente cosi?
$ Phi (x)=pi/2cosx+k2senx+x(k1cosx+pi/2senx) $

[s.stuv]

Stiamo cercando una soluzione particolare dell'equazione differenziale
(1)
\[
y'' + y = \cos x.
\]
Tu proponi di cercarla della forma \( y_p(x) = x(A \cos x + B \sin x) \). Ovviamente, occorre determinare i coefficienti \( A \) e \( B \): a tale scopo, è sufficiente imporre che la \( y_p \) effettivamente risolva (1). Si ottengono così i valori \( A = 0 \) e \( B = \frac{1}{2} \). A questo punto, come suggerivi, l'integrale generale di (1) si ottiene sommando alla \( y_p \) così determinata l'integrale generale della equazione omogenea associata alla (1), ossia esplicitamente l'equazione dell'oscillatore armonico
(2)
\[
y'' + y = 0.
\]
Tale integrale generale è (seguendo le tue notazioni) \( \Phi_0(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x \), sicchè in definitiva l'integrale generale della (1) è
\[
\Phi(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x + \frac{1}{2} x \sin x.
\]
I dati iniziali consentono a questo punto di determinare l'unica soluzione del problema di Cauchy associato alla (1). Troviamo \( c_1 = 0 \) e \( c_2 = \frac{\pi}{2} \). Alla fine, il problema è risolto da
\[
y(x) = \frac{1}{2} (\pi + x) \sin x.
\]

[m911]

quindi per trovare le costanti k1 e k2 devo imporre che y(x) verifichi la (1)
svolgendo i calcoli $ -2k1senx+2k2cosx=cosx $
quindi $ k1=0 e k2=1/2 $
$ y(x)=1/2xsenx $
ora con la condizione iniziale troviamo l unica soluzione
$ Phi (x)=c1cosx+c2senx+1/2xsenx $
imponendo la 1 condizione $ c1=0 $
imponendo la seconda $ -c1senx+c2cosx+1/2xcosx+1/2senx=pi/2 $
$ c2=pi/2 $
$y(x)=pi/2senx+1/2xsenx $