Equazione differenziale lineare di primo grado
Non riesco a risolvere il seguente problema di Cauchy, nonostante la sua forma "stranamente complicata" lasci pensare a un modo rapidissimo di risolverlo:
$ { (y' + (1+2t)cos^2(t+t^2)y = (1+2t)cos(t+t^2)(1 + 1/2sin(2t+2t^2))),(y(0)=0):} $
Noto che:
- il fattore $ 1+2t $ è la derivata prima di $ t + t^2 $
- il termine $ 1/2sin(2t+2t^2) $ non è altro, secondo le formule di duplicazione, che $ cos(t+t^2)sin(t+t^2) $
Non riesco comunque a procedere. Nella fattispecie, risolvendola secondo il solito metodo, ottengo:
$ Phi (t) = c_0e^(-int(1+2t)cos^2(t+t^2)dt) + $
$ + e^(-int(1+2t)cos^2(t+t^2)dt)int(1+2t)cos(t+t^2)(1 + 1/2sin(2t+2t^2))e^(int(1+2v)cos^2(v+v^2)dv)dt $
L'integrale nel termine esponenziale riesco ad esplicitarlo, infatti:
$ int (1+2t)cos^2(t+t^2)dt = $ per la formula di linearità: $ 1/2int (1+2t)(1+cos(2t+2t^2))dt $
Pongo $ t + t^2 = q, (1+2t)dt = dq $ e rimuovo il primo fattore, e il resto è semplice.
Risulta:
$ Phi (t) = c_0e^-(1/4(2t+2t^2 + sin(2t+2t^2))) + $
$ + e^-(1/4(2t+2t^2 + sin(2t+2t^2)))int(1+2t)cos(t+t^2)(1 + 1/2sin(2t+2t^2))e^(1/4(2t+2t^2 + sin(2t+2t^2)))dt $
E qui mi blocco. Faccio la stessa sostituzione di cui prima, rimuovo il primo fattore, ma il resto?
$ { (y' + (1+2t)cos^2(t+t^2)y = (1+2t)cos(t+t^2)(1 + 1/2sin(2t+2t^2))),(y(0)=0):} $
Noto che:
- il fattore $ 1+2t $ è la derivata prima di $ t + t^2 $
- il termine $ 1/2sin(2t+2t^2) $ non è altro, secondo le formule di duplicazione, che $ cos(t+t^2)sin(t+t^2) $
Non riesco comunque a procedere. Nella fattispecie, risolvendola secondo il solito metodo, ottengo:
$ Phi (t) = c_0e^(-int(1+2t)cos^2(t+t^2)dt) + $
$ + e^(-int(1+2t)cos^2(t+t^2)dt)int(1+2t)cos(t+t^2)(1 + 1/2sin(2t+2t^2))e^(int(1+2v)cos^2(v+v^2)dv)dt $
L'integrale nel termine esponenziale riesco ad esplicitarlo, infatti:
$ int (1+2t)cos^2(t+t^2)dt = $ per la formula di linearità: $ 1/2int (1+2t)(1+cos(2t+2t^2))dt $
Pongo $ t + t^2 = q, (1+2t)dt = dq $ e rimuovo il primo fattore, e il resto è semplice.
Risulta:
$ Phi (t) = c_0e^-(1/4(2t+2t^2 + sin(2t+2t^2))) + $
$ + e^-(1/4(2t+2t^2 + sin(2t+2t^2)))int(1+2t)cos(t+t^2)(1 + 1/2sin(2t+2t^2))e^(1/4(2t+2t^2 + sin(2t+2t^2)))dt $
E qui mi blocco. Faccio la stessa sostituzione di cui prima, rimuovo il primo fattore, ma il resto?
Risposte
Nessuno mi sa aiutare?
Secondo me c'è qualcosa che non torna. Avrebbe senso se il termine noto fosse
$$(1+2t)\cos^2(t+t^2)\left(t+\frac{1}{2}\sin(2t+2t^2)\right)$$
perché così com'è ti assicuro che l'integrale non lo risolvi analiticamente.
$$(1+2t)\cos^2(t+t^2)\left(t+\frac{1}{2}\sin(2t+2t^2)\right)$$
perché così com'è ti assicuro che l'integrale non lo risolvi analiticamente.
Ecco la traccia:
Si, se il termine coseno fosse stato al quadrato, avrei potuto (forse) integrare per parti.
Comunque i solver online riescono a tirarci fuori una primitiva, non capisco come facciano però.
Si, se il termine coseno fosse stato al quadrato, avrei potuto (forse) integrare per parti.
Comunque i solver online riescono a tirarci fuori una primitiva, non capisco come facciano però.
Perché ti metteranno una soluzione iterata, ovviamente. Maple fa questo, infatti, con una soluzione iterata con integrali vari.
Sta di fatto che è un esercizio d'esame. Come si risolve? 
Ripeto: io credo che ci sia un errore nella traccia. Probabilmente in sede d'esame il docente se ne è accorto è l'ha comunicato, ma non ha modificato il testo originale. Perché ti assicuro che se provi a risolverlo, esci pazzo.
In realtà sono già uscito pazzo sono due giorni che, nei ritagli di tempo, ritorno sull'esercizio, provando in mille modi a risolverlo, ma nulla. Anch'io avevo immaginato una cosa simile, in realtà...
sono due giorni che, nei ritagli di tempo, ritorno sull'esercizio, provando in mille modi a risolverlo, ma nulla. Anch'io avevo immaginato una cosa simile, in realtà...
Mmmm, oddio, forse un'idea mi è venuta... ma non so quanto sia semplice. Fammici provare e ti dico.
Una questione: ma l'esame cos'è? Analisi 1? O qualcos'altro? Le ODE vengono trattate in forma classica, o magari avete fatto altri metodi di soluzione (tipo trasformate di Laplace?)
L'esame si chiama "Analisi Matematica". È praticamente Analisi I-II insieme (esame a ciclo annuale) e questo argomento è in particolare il primo argomento del secondo modulo (quello che dovrebbe essere di Analisi II). Le equazioni differenziali ordinarie vengono trattate in modo classico, le trasformate di Laplace le conosco (e so che semplificano, e di molto, la trattazione delle equazioni differenziali) ma non sono argomento di questo esame.
Ok, ho fatto un po' di prove. Un paio di idee le ho, ma viene una roba lunghissima. Probabilmente c'è un "trucchetto" di mezzo, ma al momento non mi viene in mente. Ci penso un po' e ti dico.
parto dall'equazione:
$ { ( y' + (1+2t)cos^2(t+t^2 )y = (1+2t)cos(t+t^2)(1+1-:2 sin(2t+2t^2)) ,( y(0)=0 ):} $
divido per $ cos(t+t^2) $
$ y' = -(1+2t)cos(t+t^2)y+(1+2t)(1+(sin(t+t^2)) $
che diventa:
$ y' = -(1+2t)cos(t+t^2)+(1+t^2)+(1+2t)sin(t+t^2) $
divido per $ cos(t+t^2) $
$ y'= -(1+2t)-:cos(t+t^2) + (1+2t)tan(t+t^2) $
quindi:
$ y' + y = (1+2t)cos(t+t^2)+tan(t+t^2) $
Si usa la formula per l'integrale generale dell'equazione lineare: y' = a(x)y + b(x) con a,b in C°, cioe':
y $ y = expA(x) int_( )^( ) (exp-A'(x))b(x) dx $
dove A(x) e' una primitiva di a(x);
quindi la soluzione e':
$ y = exp-(t+t^2) int_( )^( ) (exp(t+t^2)) [ ln|(1+tant-:2)|-:|(1-tant-:2)| + ln(cos(t+t^2)] dx $
$ { ( y' + (1+2t)cos^2(t+t^2 )y = (1+2t)cos(t+t^2)(1+1-:2 sin(2t+2t^2)) ,( y(0)=0 ):} $
divido per $ cos(t+t^2) $
$ y' = -(1+2t)cos(t+t^2)y+(1+2t)(1+(sin(t+t^2)) $
che diventa:
$ y' = -(1+2t)cos(t+t^2)+(1+t^2)+(1+2t)sin(t+t^2) $
divido per $ cos(t+t^2) $
$ y'= -(1+2t)-:cos(t+t^2) + (1+2t)tan(t+t^2) $
quindi:
$ y' + y = (1+2t)cos(t+t^2)+tan(t+t^2) $
Si usa la formula per l'integrale generale dell'equazione lineare: y' = a(x)y + b(x) con a,b in C°, cioe':
y $ y = expA(x) int_( )^( ) (exp-A'(x))b(x) dx $
dove A(x) e' una primitiva di a(x);
quindi la soluzione e':
$ y = exp-(t+t^2) int_( )^( ) (exp(t+t^2)) [ ln|(1+tant-:2)|-:|(1-tant-:2)| + ln(cos(t+t^2)] dx $
Eh? Mica l'ho capito cosa hai fatto
Cioè, se ho capito bene, hai diviso, non so come, tutto per $ cos^2(t+t^2) $, ma... boh?!
Cioè, se ho capito bene, hai diviso, non so come, tutto per $ cos^2(t+t^2) $, ma... boh?!
prima divido tutto per $ cos(t+t^2) $
$ 1-:2sin(2t+2t^2) = sin(t+t^2)cos(t+t^2) $ se divido per $ cos(t+t^2) $ ottengo $ sin(t+t^2) $
quindi l'equazione diventa come quella dei passaggi successivi.
poi basta considerare:
$ A(t) = -1 , a(t) = 1 $
nell'equazione lineare $ y' = a(x)y + b(x) $
$ A(t) = -1 $ e' una primitiva di $ a(t) = 1 $
quindi posso applicare la formula
$ y(t) = expA(t)int_( )^( )exp(-A'(t))b(t)dx $
dove $ b(t) = $ tutto quello incluso tra parentesi quadre.
spero di essere stato chiaro
ciao
$ 1-:2sin(2t+2t^2) = sin(t+t^2)cos(t+t^2) $ se divido per $ cos(t+t^2) $ ottengo $ sin(t+t^2) $
quindi l'equazione diventa come quella dei passaggi successivi.
poi basta considerare:
$ A(t) = -1 , a(t) = 1 $
nell'equazione lineare $ y' = a(x)y + b(x) $
$ A(t) = -1 $ e' una primitiva di $ a(t) = 1 $
quindi posso applicare la formula
$ y(t) = expA(t)int_( )^( )exp(-A'(t))b(t)dx $
dove $ b(t) = $ tutto quello incluso tra parentesi quadre.
spero di essere stato chiaro
ciao
mi correggo;
la soluzione quindi deve essere:
$ y = exp int_( )^( ) exp-1 (1+2t)cos(t+t^2)+tan(t+t^2)dx $
perche'
$ b(x) = (1+2t)cos(t+t^2) + tan(t+t^2) $
la soluzione quindi deve essere:
$ y = exp int_( )^( ) exp-1 (1+2t)cos(t+t^2)+tan(t+t^2)dx $
perche'
$ b(x) = (1+2t)cos(t+t^2) + tan(t+t^2) $
usermat, se dividi per il coseno come fai, viene fuori $\frac{y'}{\cos...}+...$ per cui non vai da nessuna parte e tutto quello che hai scritto non ha senso.
A me e' venuta una idea:
$ y'+(1+2t)cos^2(t+t^2)y=(1+2t)cos(t+t^2)(1+1/2sen(2(t+t^2))) $ (1)
$ y'+(1+2t)cos^2(t+t^2)y=(1+2t)cos(t+t^2)+(1+2t)cos^2(t+t^2)sen(t+t^2) $
$ y'+(1+2t)cos^2(t+t^2)(y-sen(t+t^2))=(1+2t)cos(t+t^2) $
$ y'-(1+2t)cos(t+t^2)+(1+2t)cos^2(t+t^2)(y-sen(t+t^2))=0 $
$ k= y-sen(t+t^2) $
cosi' la (1) diventa una equazione a variabili separabili facilmente risolvibile e poi si ricava y:
$ k'+(1+2t)cos^2(t+t^2)k=0 $
$ y'+(1+2t)cos^2(t+t^2)y=(1+2t)cos(t+t^2)(1+1/2sen(2(t+t^2))) $ (1)
$ y'+(1+2t)cos^2(t+t^2)y=(1+2t)cos(t+t^2)+(1+2t)cos^2(t+t^2)sen(t+t^2) $
$ y'+(1+2t)cos^2(t+t^2)(y-sen(t+t^2))=(1+2t)cos(t+t^2) $
$ y'-(1+2t)cos(t+t^2)+(1+2t)cos^2(t+t^2)(y-sen(t+t^2))=0 $
$ k= y-sen(t+t^2) $
cosi' la (1) diventa una equazione a variabili separabili facilmente risolvibile e poi si ricava y:
$ k'+(1+2t)cos^2(t+t^2)k=0 $
Bravo ostrogoto! Eccolo il metodo veloce. Tra l'altro, si verifica facilmente che $k(0)=0$ e che quindi l'unica soluzione dell'equazione è $k(t)=0$, per cui $y(t)=\sin(t+t^2)$.
Soluzione da applausi, grande!
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