Equazione differenziale lineare del sesto ordine
Ciao a tutti, ho un problema di comprensione sul risultato di questa equazione. E' un esercizio svolto in classe quindi so che è corretto, inoltre ho verificato con un software ed è ok, solo vorrei dei chiarimenti se è possibile. L'equazione è questa:
$y^((6))+2y^((5))+2y^((4))-2y''-2y'-y=0$
Dopo aver scritto il polinomio caratteristico si trovano queste radici:
$λ_1=1$;
$λ_2=-1$ ;
$ λ_(3,4)= \frac{-1 \pm i \sqrt(3)}{2}$;
Inoltre essendo un polinomio di sesto grado si ha che sono soluzioni anche le coniugate di $λ_3$ e $λ_4$. (e qui inizia il mio dubbio)
In fine si arriva a scrivere le solizioni:
$y_1: x \rightarrow e^x$
$y_2: x \rightarrow e^-x$
$y_3: x \rightarrow e^(-x/2) \cos(xsqrt(3) / 2)$
$y_4: x \rightarrow e^(-x/2) \sin(xsqrt(3) / 2)$
$y_5: x \rightarrow xe^(-x/2) \cos(xsqrt(3) / 2)$
$y_6: x \rightarrow xe^(-x/2) \sin(xsqrt(3) / 2)$
Il mio problema è che non capisco le ultime due. In pratica ok, esistono 6 lambda come radici del polinomio caratteristico, due reali, due immaginari più i loro coniugati; ma non capisco perchè non si dovrebbero considerare i coniugati come se fossero le stesse lambda solo con molteplcità maggiore? Detto operativamente, se $λ_3=\frac{-1 + i \sqrt(3)}{2}$ è anche uguale alla coniugata di $λ_4$, perchè ho due diverse soluzioni $y_3$ e $y_5$. Io avrei scritto $y_3: x \rightarrow xe^(-x/2) \cos(xsqrt(3) / 2)$ mettendo la $x$ perchè ho molteplicità $2$, come si fa di solito nelle equazioni di secondo grado. Spero di essermi spiegato perchè vorrei capire che ragionamento dovrei fare per eseguire in modo corretto gli esercizi.
Grazie
$y^((6))+2y^((5))+2y^((4))-2y''-2y'-y=0$
Dopo aver scritto il polinomio caratteristico si trovano queste radici:
$λ_1=1$;
$λ_2=-1$ ;
$ λ_(3,4)= \frac{-1 \pm i \sqrt(3)}{2}$;
Inoltre essendo un polinomio di sesto grado si ha che sono soluzioni anche le coniugate di $λ_3$ e $λ_4$. (e qui inizia il mio dubbio)
In fine si arriva a scrivere le solizioni:
$y_1: x \rightarrow e^x$
$y_2: x \rightarrow e^-x$
$y_3: x \rightarrow e^(-x/2) \cos(xsqrt(3) / 2)$
$y_4: x \rightarrow e^(-x/2) \sin(xsqrt(3) / 2)$
$y_5: x \rightarrow xe^(-x/2) \cos(xsqrt(3) / 2)$
$y_6: x \rightarrow xe^(-x/2) \sin(xsqrt(3) / 2)$
Il mio problema è che non capisco le ultime due. In pratica ok, esistono 6 lambda come radici del polinomio caratteristico, due reali, due immaginari più i loro coniugati; ma non capisco perchè non si dovrebbero considerare i coniugati come se fossero le stesse lambda solo con molteplcità maggiore? Detto operativamente, se $λ_3=\frac{-1 + i \sqrt(3)}{2}$ è anche uguale alla coniugata di $λ_4$, perchè ho due diverse soluzioni $y_3$ e $y_5$. Io avrei scritto $y_3: x \rightarrow xe^(-x/2) \cos(xsqrt(3) / 2)$ mettendo la $x$ perchè ho molteplicità $2$, come si fa di solito nelle equazioni di secondo grado. Spero di essermi spiegato perchè vorrei capire che ragionamento dovrei fare per eseguire in modo corretto gli esercizi.
Grazie
Risposte
Non ho fatto i conti però penso che il tutto si spieghi col fatto ( che va verificato ) che sia $lambda_3 $ che $ lambda_4 $ sono radici doppie.
Ecco perchè allora hai le soluzioni $ y_3 $ e $y_5 $ che sono linearmente indipendenti con l'aggiunta del fattore moltiplicativo $x $; lo stesso dicasi per $y_4 $ e $ y_6$ .
In parole semplici se tu hai come soluzione *tra le altre * $lambda = 1 $ doppia le soluzioni corrispondenti sarebbero $e^x $ ed $xe^x$.
Ecco perchè allora hai le soluzioni $ y_3 $ e $y_5 $ che sono linearmente indipendenti con l'aggiunta del fattore moltiplicativo $x $; lo stesso dicasi per $y_4 $ e $ y_6$ .
In parole semplici se tu hai come soluzione *tra le altre * $lambda = 1 $ doppia le soluzioni corrispondenti sarebbero $e^x $ ed $xe^x$.
Si ho capito ora...infatti quando si hanno due radici uguali anche in quelle del secondo ordine si mette una x!
Domanda: quindi se io avessi una radice con molteplicità 6 avrei per esempio
$y_1: x \rightarrow e^(λx)$
$y_2: x \rightarrow xe^(λx)$
$y_3: x \rightarrow x^2e^(λx)$
$y_4: x \rightarrow x^3e^(λx)$
$y_5: x \rightarrow x^4e^(λx)$
$y_6: x \rightarrow x^5e^(λx)$
giusto?
Domanda: quindi se io avessi una radice con molteplicità 6 avrei per esempio
$y_1: x \rightarrow e^(λx)$
$y_2: x \rightarrow xe^(λx)$
$y_3: x \rightarrow x^2e^(λx)$
$y_4: x \rightarrow x^3e^(λx)$
$y_5: x \rightarrow x^4e^(λx)$
$y_6: x \rightarrow x^5e^(λx)$
giusto?
Sì giusto, le soluzioni che tu hai indicato $y_1,y_2,....y_6 $ sono tra loro linearmente indipendenti e costituiscono pertanto una base dello spazio vettoriale ( di dimensione 6 ) delle soluzioni.
Le loro combinazioni lineari $sum _(i=1)^6 c_i*y_i $ con $c in CC $ forniscono tutte le soluzioni dell'equazione.
Le loro combinazioni lineari $sum _(i=1)^6 c_i*y_i $ con $c in CC $ forniscono tutte le soluzioni dell'equazione.
"Camillo":
Sì giusto, le soluzioni che tu hai indicato $y_1,y_2,....y_6 $ sono tra loro linearmente indipendenti e costituiscono pertanto una base dello spazio vettoriale ( di dimensione 6 ) delle soluzioni.
Le loro combinazioni lineari $sum _(i=1)^6 c_i*y_i $ con $c in CC $ forniscono tutte le soluzioni dell'equazione.
Yeeehh
...grazie
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