Equazione differenziale lineare del secondo ordine
buon pomeriggio a tutti,stavo svolgendo questo tipo di esercizio sulle equazioni differenziali e cercando la soluzione su wolfram mi dice che è un equazione differenziale LINEARE del secondo ordine.
Ora mi chiedo se questo sia corretto dato che l'equazione è $ x^2y^('')-4xy'+4y=0 $ dato che compare $ x^2 $
Ad ogni modo potreste indicarmi come risolverla,non riesco a trovare da nessuna parte....
Ora mi chiedo se questo sia corretto dato che l'equazione è $ x^2y^('')-4xy'+4y=0 $ dato che compare $ x^2 $
Ad ogni modo potreste indicarmi come risolverla,non riesco a trovare da nessuna parte....
Risposte
Definizione di "lineare"?
"Raptorista":
Definizione di "lineare"?
che il grado dell'incognita non deve essere maggiore del primo
Meglio, che l'equazione dev'essere un polinomio di primo grado in \(y,y',y'',...\). In questo caso com'è?
di secondo...non riesco però a trovare l'equazione risolutiva di questo tipo di equazione differenziale,potresti aiutarmi ?
"christian95":
di secondo...
Ma dove??
"Raptorista":
[quote="christian95"]di secondo...
Ma dove??[/quote]
sia sul libro che su internet
Intendevo dire dove hai visto che l'equazione è un polinomio di secondo grado in \(y\) o in una delle sue derivate.
"Raptorista":
Intendevo dire dove hai visto che l'equazione è un polinomio di secondo grado in \(y\) o in una delle sue derivate.
Giusto è in $ x $ il termine alla seconda
Quindi l'equazione $ y=c_1y_1+c_2y_2 $ è corretta per la risoluzione di questo tipo?
Il metodo di somiglianza vale solo per equazioni a coefficienti costanti, mi sa!
"Raptorista":
Il metodo di somiglianza vale solo per equazioni a coefficienti costanti, mi sa!
già...proprio non riesco a capire come si risolva
I metodi più comuni sono raccolti in alcuni libri di testo.
Step 1. Cerchiamo soluzioni \(y \, \colon \,I \to \mathbb{R}\), dove \(I\) è un intervallo che non contiene \(0\).
È possibile portare l'equazione in forma normale:\[y'' = 4 \left( \frac{y'}{x}-\frac{y}{x^2} \right)= 4 \left( \frac{xy'-y}{x^2} \right)=\left( 4\,\frac{y}{x} \right)'\]da cui ricaviamo che \(y\) soddisfa l'equazione lineare (di grado 1)\[y'=4\, \frac{y}{x} + C \qquad \qquad (\ast)\]per ogni \(C \in \mathbb{R}\). A questo punto, abbiamo che l'integrale generale di \((\ast)\) è dato da \(y=Ax^4 - C/3 \, x\) al variare di \(A \in \mathbb{R}\) e, in conclusione, che tutte le soluzioni \(y\, \colon \, I \to \mathbb{R}\) sono date da\[y=Ax^4 + Bx\]al variare dei parametri reali \(A\) e \(B\).
Step 2. Se \(y\) è una soluzione definita in un intervallo \(J \ni 0\), allora, per quanto visto nello Step 1, abbiamo necessariamente che\[y=\left\{\begin{array}{cr} A_1x^4 + B_1x & \text{se } x < 0 \\0 & \text{se } x=0\\ A_2x^4 + B_2x & \text{se } x > 0\end{array}\right.\]per certe costanti reali \(A_1,B_1,A_2,B_2\).
Osserviamo che:
0. se \(B_1 \neq B_2\), la funzione \(y \, \colon \, J \to \mathbb{R}\) è continua ma non derivabile in \(x = 0\);
1. se \(B_1 = B_2\), la soluzione \(y \, \colon \,J \to \mathbb{R}\) è di classe \(C^3\);
2. se \(B_1=B_2\) e \(A_1=A_2\), la soluzione \(y \, \colon \, J \to \mathbb{R}\) è di classe \(C^\infty\) (\(y\) è una funzione polinomiale definita su \(J\)).
In particolare le soluzioni globali (definite su tutto \(\mathbb{R}\)) dell'equazione \(x^2y'' - 4xy' +4y=0\) sono combinazioni lineari delle tre funzioni definite di seguito\[y_1(x)=x \qquad y_2(x)=\left\{ \begin{array}{cr} x^4 & x\leq 0 \\ 0 & x \geq 0 \end{array}\right. \qquad y_3(x)=\left\{ \begin{array}{cr}0 & x \leq 0\\ x^4 & x\geq 0 \end{array} \right.\]
È possibile portare l'equazione in forma normale:\[y'' = 4 \left( \frac{y'}{x}-\frac{y}{x^2} \right)= 4 \left( \frac{xy'-y}{x^2} \right)=\left( 4\,\frac{y}{x} \right)'\]da cui ricaviamo che \(y\) soddisfa l'equazione lineare (di grado 1)\[y'=4\, \frac{y}{x} + C \qquad \qquad (\ast)\]per ogni \(C \in \mathbb{R}\). A questo punto, abbiamo che l'integrale generale di \((\ast)\) è dato da \(y=Ax^4 - C/3 \, x\) al variare di \(A \in \mathbb{R}\) e, in conclusione, che tutte le soluzioni \(y\, \colon \, I \to \mathbb{R}\) sono date da\[y=Ax^4 + Bx\]al variare dei parametri reali \(A\) e \(B\).
Step 2. Se \(y\) è una soluzione definita in un intervallo \(J \ni 0\), allora, per quanto visto nello Step 1, abbiamo necessariamente che\[y=\left\{\begin{array}{cr} A_1x^4 + B_1x & \text{se } x < 0 \\0 & \text{se } x=0\\ A_2x^4 + B_2x & \text{se } x > 0\end{array}\right.\]per certe costanti reali \(A_1,B_1,A_2,B_2\).
Osserviamo che:
0. se \(B_1 \neq B_2\), la funzione \(y \, \colon \, J \to \mathbb{R}\) è continua ma non derivabile in \(x = 0\);
1. se \(B_1 = B_2\), la soluzione \(y \, \colon \,J \to \mathbb{R}\) è di classe \(C^3\);
2. se \(B_1=B_2\) e \(A_1=A_2\), la soluzione \(y \, \colon \, J \to \mathbb{R}\) è di classe \(C^\infty\) (\(y\) è una funzione polinomiale definita su \(J\)).
In particolare le soluzioni globali (definite su tutto \(\mathbb{R}\)) dell'equazione \(x^2y'' - 4xy' +4y=0\) sono combinazioni lineari delle tre funzioni definite di seguito\[y_1(x)=x \qquad y_2(x)=\left\{ \begin{array}{cr} x^4 & x\leq 0 \\ 0 & x \geq 0 \end{array}\right. \qquad y_3(x)=\left\{ \begin{array}{cr}0 & x \leq 0\\ x^4 & x\geq 0 \end{array} \right.\]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo