Equazione differenziale lineare
Sia $y(x)$ differenziabile su tutto l'asse reale tranne l'origine tale che $doty=y/x$.
Calcolare il $\lim_{x \to \0}\y(x)$
Ho provato a svolgere il quesito ma non mi viene.
Una primitiva di $1/x$ è $log|x|$, da cui il fattore integrante è $|x|$
moltiplicando ambo i membri dell'equazione per il fattore integrante ottengo:
$|x|doty-y|x|/x=0$
integrando:
$|x|y(x)=c$
da cui:
$y(x)= c/|x|$
adesso:
$\lim_{x \to \0}\y(x) = infty$
unico problema: il risultato vale $0$
è da tanto tempo che non svolgo un'equazione differenziale (da cui il risultato errato)
qualcuno puo' aiutarmi a comprendere l'errore?
Calcolare il $\lim_{x \to \0}\y(x)$
Ho provato a svolgere il quesito ma non mi viene.
Una primitiva di $1/x$ è $log|x|$, da cui il fattore integrante è $|x|$
moltiplicando ambo i membri dell'equazione per il fattore integrante ottengo:
$|x|doty-y|x|/x=0$
integrando:
$|x|y(x)=c$
da cui:
$y(x)= c/|x|$
adesso:
$\lim_{x \to \0}\y(x) = infty$
unico problema: il risultato vale $0$
è da tanto tempo che non svolgo un'equazione differenziale (da cui il risultato errato)
qualcuno puo' aiutarmi a comprendere l'errore?
Risposte
Ciao. Mi sembra che la tua sia un'equazione a variabili separabili:
$y'=y/x$__$rightarrow$__$(dy)/y=(dx)/x$__$rightarrow$__$\ln |y|=\ln|x|+C$__$rightarrow$__$y=\pm Ax$, con $A=e^C$.
Questa in realtà esiste ed è derivabile per $\forall x in RR$, se proprio la vuoi non derivabile in $x=0$ basta modificarla per esempio in $y=\pm A |x|$. Almeno mi sembra.
$y'=y/x$__$rightarrow$__$(dy)/y=(dx)/x$__$rightarrow$__$\ln |y|=\ln|x|+C$__$rightarrow$__$y=\pm Ax$, con $A=e^C$.
Questa in realtà esiste ed è derivabile per $\forall x in RR$, se proprio la vuoi non derivabile in $x=0$ basta modificarla per esempio in $y=\pm A |x|$. Almeno mi sembra.
Ti sei mangiato qualche segno meno: prendi la tua soluzione \(y(x)=c/x\) (per comodità supponiamo \(x>0\)) e deriva, ottieni
\[\dot{y}(x)=\frac{-c}{x^2}=-\frac{1}{x}y(x), \]
mentre invece dovresti ottenere
\[\dot{y}(x)=+\frac{1}{x}y(x).\]
C'è qualche problema nel fattore integrante, rifai i conti.
\[\dot{y}(x)=\frac{-c}{x^2}=-\frac{1}{x}y(x), \]
mentre invece dovresti ottenere
\[\dot{y}(x)=+\frac{1}{x}y(x).\]
C'è qualche problema nel fattore integrante, rifai i conti.
si, grazie.
Ho commesso uno stupido errore di distrazione proprio all'inizio. La funzione da considerare è $-1/x$, da cui una primitiva è $-log|x|$, ed il fattore integrante $1/|x|$
la soluzione viene quindi :
$y=-c|x|$, il cui limite tende a 0
utilizzo adesso l''osservazione di Dissonance per verificare se la soluzione trovata è corretta:
se la soluzione vale $y=-c|x|$, allora $doty=-c|x|/x$, da cui sostituendo $c=-y/|x|$ ottengo $doty=y/x$
Ho commesso uno stupido errore di distrazione proprio all'inizio. La funzione da considerare è $-1/x$, da cui una primitiva è $-log|x|$, ed il fattore integrante $1/|x|$
la soluzione viene quindi :
$y=-c|x|$, il cui limite tende a 0
utilizzo adesso l''osservazione di Dissonance per verificare se la soluzione trovata è corretta:
se la soluzione vale $y=-c|x|$, allora $doty=-c|x|/x$, da cui sostituendo $c=-y/|x|$ ottengo $doty=y/x$
Ok. Il trucco di verificare sempre la correttezza di una soluzione te lo consiglio, ti porta via poco tempo e ti salva da molti mal di testa. Un dettaglio assolutamente secondario: l'integrale generale andrebbe scritto così:
\[\begin{cases} c_1 x & x>0 \\ c_2(-x) & x<0\end{cases}, \]
dove \(c_1, c_2\) sono due costanti che possono anche essere diverse, perché a priori tu potresti anche avere una soluzione discontinua, visto che \(x=0\) è una singolarità dell'equazione. Per esempio con \(c_1=1, c_2=-1\) ottieni la soluzione \(y(x)=x\), che pure è ammissibile (basta inserirla nell'equazione per rendersene conto) e rimane fuori dall'integrale generale scritto nel post precedente.
\[\begin{cases} c_1 x & x>0 \\ c_2(-x) & x<0\end{cases}, \]
dove \(c_1, c_2\) sono due costanti che possono anche essere diverse, perché a priori tu potresti anche avere una soluzione discontinua, visto che \(x=0\) è una singolarità dell'equazione. Per esempio con \(c_1=1, c_2=-1\) ottieni la soluzione \(y(x)=x\), che pure è ammissibile (basta inserirla nell'equazione per rendersene conto) e rimane fuori dall'integrale generale scritto nel post precedente.
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