Equazione differenziale, ipotesi strana
Sono a primi passi con le equazioni differenziali...
ecco cosa mi si presenta:
Per quali $g in C^1(RR)$ il problema
$\{(\partial_2 u+\partial_1 u =0),(u(s,s^2)=g(s)):}$
ammette soluzioni?
ecco cosa mi si presenta:
Per quali $g in C^1(RR)$ il problema
$\{(\partial_2 u+\partial_1 u =0),(u(s,s^2)=g(s)):}$
ammette soluzioni?
Risposte
Sinceramente, non capisco quale sia il problema, l'ipotesi strana... 
Scusa ma io non ho capito il testo 
@Camillo: Credo si tratti di un problema ai valori iniziali per una PDE del primo ordine, ossia [tex]$u_x+u_y=0$[/tex] con dato iniziale assegnato sulla parabola [tex]$y=x^2$[/tex].
è il dato iniziale il mio problema. Tu dici "dato iniziale assegnato sulla parabola" come se niente fosse, ma io non so come trattarlo ^^'
io arrivo a dire che $g(s(s-1))=g(s)$ usando la "formula risolutiva" dell'eq. di trasporto ma poi da lì non mi schiodo...
io arrivo a dire che $g(s(s-1))=g(s)$ usando la "formula risolutiva" dell'eq. di trasporto ma poi da lì non mi schiodo...
Qualche considerazione.
L'equazione [tex]$u_x+u_y=0$[/tex] (ma dove vuoi risolvere la PDE? In tutto [tex]\mathbb{R}^2[/tex]? Nel semipiano [tex]$x\geq 0$[/tex]? Da quanlche altra parte?) ti sta dicendo che il gradiente della soluzione deve essere, punto per punto, ortogonale al vettore [tex]$(1,1)$[/tex]: infatti la tue PDE si riscrive [tex]$\langle (u_x,u_y),(1,1)\rangle =0$[/tex].
La soluzione la possiamo cercare nella forma [tex]$u(x,y)=v(x+y)$[/tex]: ciò equivale a dire che cerchiamo una soluzione [tex]$u$[/tex] che sia costante su ogni retta del tipo [tex]$x+y=s$[/tex] (in quanto dipende unicamente dal valore del termine noto [tex]$s$[/tex]); la direzione di tali rette non è casuale, ma è proprio quella ortogonale al vettore [tex](1,1)[/tex] cui [tex]$\text{D}u$[/tex] deve essere ortogonale.
In tal modo troviamo [tex]$u_x=v^\prime=u_y$[/tex], quindi l'equazione ha soluzione nella forma desiderata solo se [tex]$v^\prime =0$[/tex] ossia se [tex]$v(s)=\text{cost.}$[/tex].
Ne consegue che [tex]$g$[/tex] deve essere costante sulla parabola [tex]$y=x^2$[/tex] se vuoi avere qualche soluzione.
L'equazione [tex]$u_x+u_y=0$[/tex] (ma dove vuoi risolvere la PDE? In tutto [tex]\mathbb{R}^2[/tex]? Nel semipiano [tex]$x\geq 0$[/tex]? Da quanlche altra parte?) ti sta dicendo che il gradiente della soluzione deve essere, punto per punto, ortogonale al vettore [tex]$(1,1)$[/tex]: infatti la tue PDE si riscrive [tex]$\langle (u_x,u_y),(1,1)\rangle =0$[/tex].
La soluzione la possiamo cercare nella forma [tex]$u(x,y)=v(x+y)$[/tex]: ciò equivale a dire che cerchiamo una soluzione [tex]$u$[/tex] che sia costante su ogni retta del tipo [tex]$x+y=s$[/tex] (in quanto dipende unicamente dal valore del termine noto [tex]$s$[/tex]); la direzione di tali rette non è casuale, ma è proprio quella ortogonale al vettore [tex](1,1)[/tex] cui [tex]$\text{D}u$[/tex] deve essere ortogonale.
In tal modo troviamo [tex]$u_x=v^\prime=u_y$[/tex], quindi l'equazione ha soluzione nella forma desiderata solo se [tex]$v^\prime =0$[/tex] ossia se [tex]$v(s)=\text{cost.}$[/tex].
Ne consegue che [tex]$g$[/tex] deve essere costante sulla parabola [tex]$y=x^2$[/tex] se vuoi avere qualche soluzione.
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