Equazione differenziale in coordinate polari
Se ho un'equazione differenziale in coordinate cartesiane, come la posso scrivere in coordinate polari?
Ad esempio se considero il problema di Cauchy
$\{(x'=xf(x^2+y^2)-y),(y'=yf(x^2+y^2)+x),(x(0)=x_0),(y(0)=0):}$
con $f$ nota, chi diventano $x'$ e $y'$?
Ad esempio se considero il problema di Cauchy
$\{(x'=xf(x^2+y^2)-y),(y'=yf(x^2+y^2)+x),(x(0)=x_0),(y(0)=0):}$
con $f$ nota, chi diventano $x'$ e $y'$?
Risposte
Provo ad andare un po' a memoria e un po' ad intuito...
Conviene esprimere il tutto in vettori nel senso:
$\bbv'=x'\ \bbi+y'\ \bbj=(xf(x^2+y^2)-y)\bbi+(yf(x^2+y^2)-x)\bbj$
A questo punto sussistono le relazioni
$x=r\ cos\phi$
$y=r\ sin\phi$
$\bbr=cos\phi\ \bbi+sin\phi\ \bbj$
$\bb\phi=-sin\phi\ \bbi+cos\phi\ \bbj$
ovvero
$\bbj=cos\phi \ \bb\phi+sin\phi \ \bbr$
$\bbi=-sin\phi \ \bb\phi+cos\phi \ \bbr$
Sostituendo nell'equazione iniziale
$\bbv' = rf(r^2)\ \bbr-r\ \ \bb \phi$
A questo punto mi fermo perchè rischierei di scrivere fesserie (se non le ho già scritte).
Prova a vedere se da qui riesci a sviluppare qualcosa.
Conviene esprimere il tutto in vettori nel senso:
$\bbv'=x'\ \bbi+y'\ \bbj=(xf(x^2+y^2)-y)\bbi+(yf(x^2+y^2)-x)\bbj$
A questo punto sussistono le relazioni
$x=r\ cos\phi$
$y=r\ sin\phi$
$\bbr=cos\phi\ \bbi+sin\phi\ \bbj$
$\bb\phi=-sin\phi\ \bbi+cos\phi\ \bbj$
ovvero
$\bbj=cos\phi \ \bb\phi+sin\phi \ \bbr$
$\bbi=-sin\phi \ \bb\phi+cos\phi \ \bbr$
Sostituendo nell'equazione iniziale
$\bbv' = rf(r^2)\ \bbr-r\ \ \bb \phi$
A questo punto mi fermo perchè rischierei di scrivere fesserie (se non le ho già scritte).
Prova a vedere se da qui riesci a sviluppare qualcosa.
Fatto salvo ciò che diceva Quinzio, puoi procedere più semplicemente così.
Innanzitutto, nota che se \(x_0=0\) oppure se \(f(x_0^2)=0\), il PdC ammette la soluzione stazionaria \((x(t),y(t))=(x_0,0)\); quindi non è che devi fare granché per determinare la soluzione del PdC.
Se ciò non si verifica, moltiplicando la prima EDO per \(2x(t)\) e la seconda per \(2y(t)\) e sommando, ottieni:
\[
2\ x(t)\ x^\prime (t) + 2\ y(t)\ y^\prime (t) =2\ \Big( x^2 (t)+y^2 (t)\Big)\ f\Big( x^2(t)+y^2(t)\Big) \; ;
\]
tenendo presente che \(2\ x(t)\ x^\prime (t) + 2\ y(t)\ y^\prime (t)=\Big( x^2 (t)+y^2 (t)\Big)^\prime\), introducendo la variabile ausiliaria \(R(t):=x^2(t)+y^2(t)\), la precedente diviene:
\[
R^\prime (t) = 2\ R(t)\ f(R(t))\; .
\]
Perciò il PdC assegnato si trasforma in:
\[
\begin{cases}
R^\prime (t) = 2\ R(t)\ f( R (t))\\
R(0)=x_0^2\; ,
\end{cases}
\]
con la EDO del primo ordine a variabili separabili.
Innanzitutto, nota che se \(x_0=0\) oppure se \(f(x_0^2)=0\), il PdC ammette la soluzione stazionaria \((x(t),y(t))=(x_0,0)\); quindi non è che devi fare granché per determinare la soluzione del PdC.
Se ciò non si verifica, moltiplicando la prima EDO per \(2x(t)\) e la seconda per \(2y(t)\) e sommando, ottieni:
\[
2\ x(t)\ x^\prime (t) + 2\ y(t)\ y^\prime (t) =2\ \Big( x^2 (t)+y^2 (t)\Big)\ f\Big( x^2(t)+y^2(t)\Big) \; ;
\]
tenendo presente che \(2\ x(t)\ x^\prime (t) + 2\ y(t)\ y^\prime (t)=\Big( x^2 (t)+y^2 (t)\Big)^\prime\), introducendo la variabile ausiliaria \(R(t):=x^2(t)+y^2(t)\), la precedente diviene:
\[
R^\prime (t) = 2\ R(t)\ f(R(t))\; .
\]
Perciò il PdC assegnato si trasforma in:
\[
\begin{cases}
R^\prime (t) = 2\ R(t)\ f( R (t))\\
R(0)=x_0^2\; ,
\end{cases}
\]
con la EDO del primo ordine a variabili separabili.
Grazie ad entrambi!
Riguardo il procedimento di Gugo, se $x_0=0$ sono d'accordo che si ha la zoluzione costantemente nulla (e questo è il caso "banale" che trattiamo a parte), ma se f(x_0^2)=0 (con $x_0!=0$) non si ha la soluzione costante perchè si avrebbe $y'(t)=x(t)$, giusto?
Nel caso generale invece arrivo all'equazione a variabili separabili rispetto alla componente radiale ma, nelle ipotesi che $x_0<1$ e $f(1)=0$ sono in grado di stabilire se la soluzione è unica e definita su $RR$, o addirittura di calcolarla esplicitamente?
Riguardo il procedimento di Gugo, se $x_0=0$ sono d'accordo che si ha la zoluzione costantemente nulla (e questo è il caso "banale" che trattiamo a parte), ma se f(x_0^2)=0 (con $x_0!=0$) non si ha la soluzione costante perchè si avrebbe $y'(t)=x(t)$, giusto?
Nel caso generale invece arrivo all'equazione a variabili separabili rispetto alla componente radiale ma, nelle ipotesi che $x_0<1$ e $f(1)=0$ sono in grado di stabilire se la soluzione è unica e definita su $RR$, o addirittura di calcolarla esplicitamente?
"thedarkhero":
Riguardo il procedimento di Gugo, se $x_0=0$ sono d'accordo che si ha la zoluzione costantemente nulla (e questo è il caso "banale" che trattiamo a parte), ma se f(x_0^2)=0 (con $x_0!=0$) non si ha la soluzione costante perchè si avrebbe $y'(t)=x(t)$, giusto?
Sì, hai pienamente ragione.
"thedarkhero":
Nel caso generale invece arrivo all'equazione a variabili separabili rispetto alla componente radiale ma, nelle ipotesi che $x_0<1$ e $f(1)=0$ sono in grado di stabilire se la soluzione è unica e definita su $RR$, o addirittura di calcolarla esplicitamente?
Se non sai chi è \(f\) (o se non conosci qualche sua proprietà strutturale) è un po' difficile stabilire l'unicità; il calcolo esplicito, poi, è impossibile da fare nel dettaglio.
Tuttavia, se \(f\) è continua e non si annulla in \(x_0\), puoi scrivere:
\[
\int_0^t \frac{R^\prime (t)}{R(t)\ f(R(t))}\ \text{d} t = 2\ t
\]
ossia:
\[
\int_{R(0)}^{R(t)} \frac{1}{r\ f(r)}\ \text{d} r = 2\ t
\]
i.e.:
\[
\int_{x_0^2}^{R(t)} \frac{1}{r\ f(r)}\ \text{d} r = 2\ t
\]
valida almeno in un intorno di \(0\). Conseguentemente, la soluzione \(R(t)\) è implicitamente definita dall'equazione:
\[
\Phi (R) - 2t=0
\]
con la condizione \(R(0)=x_0^2\), ove \(\Phi(r) = \int_{x_0^2}^r \frac{\text{d} \rho}{\rho\ f(\rho)}\).
Le uniche cose che conosco di $f$ sono che è di classe $C^1$ e che $f(1)=0$.
Sul dato iniziale $x_0$ (trattando a parte il caso $x_0=0$) so che $0
Sul dato iniziale $x_0$ (trattando a parte il caso $x_0=0$) so che $0
Mah... Non so che dirti.
Probabilmente si può fare ugualmente, probabilmente no. C'è da pensarci sopra.
Ad ogni modo, se \(\theta (t)\) è l'anomalia di \((x(t),y(t))\) hai:
\[
\sin \theta (t)\ x(t) - \cos \theta (t)\ y(t) =0
\]
da cui:
\[
\theta^\prime (t) \Big( \cos \theta (t)\ x(t) + \sin \theta (t)\ y(t)\Big) + \sin \theta (t)\ x^\prime (t) - \cos \theta (t)\ y^\prime(t) =0\; ;
\]
usando le EDO:
\[
\theta^\prime (t) \Big( \cos \theta (t)\ x(t) + \sin \theta (t)\ y(t)\Big) + \sin \theta (t)\ \Big( \cancel{x(t)\ f(R(t))} - y(t)\Big) - \cos \theta (t)\ \Big( \cancel{y(t)\ f(R(t))} + x(t)\Big) =0
\]
il che equivale a scrivere:
\[
\Big( \cos \theta (t)\ x(t) + \sin \theta (t)\ y(t) \Big)\ \Big( \theta^\prime (t) - 1\Big) =0\; .
\]
Conseguentemente o è \(\theta^\prime (t)=1\), ossia \(\theta (t)=t\) (qui assumo \(\theta(0)=\text{anomalia di } (x_0,0)=0\)), oppure è \(\cos \theta (t)\ x(t) + \sin \theta (t)\ y(t) =0\) ovvero:
\[
r(t)=r(t)\ \cos^2 \theta (t) + r(t)\ \sin ^2(t) =0
\]
(ove \(r(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}\)), cioé \(r(t)=0\) ed \((x(t),y(t))=(0,0)\), il che è impossibile se \(x_0\neq 0\).
Quindi l'unica alternativa possibile è \(\theta (t)=t\) (ammesso che abbia fatto bene i conti).
Conseguentemente, nello spazio delle fasi il moto è del tipo:
\[
\begin{cases}
x(t) = r(t)\ \cos t\\
y(t) = r(t)\ \sin t
\end{cases}
\]
ed il moto è completamente determinato dalla componente radiale, la quale ha la funzione \(R(t):=r^2(t)\) governata dalla EDO detta sopra, cioé:
\[
R^\prime (t) = R(t)\ f(R(t))\; .
\]
Chiaramente se \(R(0)=x_0^2=1\) allora è \(R(t)=R^*(t)=1\) (soluzione stazionaria) sempre, quindi \((x(t),y(t))=(\cos t, \sin t)\) e stai a posto; lo stesso, se \(R(0)=x_0^2=0\) allora è \(R(t)=R_*(t)=0\) (altra soluzione stazionaria) sempre, quindi \((x(t),y(t))=(0,0)\).
Altrimenti, chiama \(R(t)\) l'integrale massimale della EDO che soddisfa la condizione iniziale. Chiaramente l'integrale massimale non può cozzare né contro la soluzione stazionaria \(R^*(t)\) né contro la soluzione stazionaria \(R_*(t)\), quindi è \(0< R(t)<1\) oppure \(R(t)>1\) a seconda della posizione di \(x_0\).
Ora, se \(x_0\in ]0,1[\), allora \(R(t)\) è limitata; ma da ciò segue che il secondo membro della EDO, i.e. \(R(t)\ f(R(t))\), è limitato in modulo e quindi è una funzione a crescita al più lineare. Un noto risultato di prolungamento implica che \(R(t)\) è definito in tutto \(\mathbb{R}\).
Dovrebbe funzionare... Ragionaci un po' tu e dimmi che ne pensi.
Probabilmente si può fare ugualmente, probabilmente no. C'è da pensarci sopra.
Ad ogni modo, se \(\theta (t)\) è l'anomalia di \((x(t),y(t))\) hai:
\[
\sin \theta (t)\ x(t) - \cos \theta (t)\ y(t) =0
\]
da cui:
\[
\theta^\prime (t) \Big( \cos \theta (t)\ x(t) + \sin \theta (t)\ y(t)\Big) + \sin \theta (t)\ x^\prime (t) - \cos \theta (t)\ y^\prime(t) =0\; ;
\]
usando le EDO:
\[
\theta^\prime (t) \Big( \cos \theta (t)\ x(t) + \sin \theta (t)\ y(t)\Big) + \sin \theta (t)\ \Big( \cancel{x(t)\ f(R(t))} - y(t)\Big) - \cos \theta (t)\ \Big( \cancel{y(t)\ f(R(t))} + x(t)\Big) =0
\]
il che equivale a scrivere:
\[
\Big( \cos \theta (t)\ x(t) + \sin \theta (t)\ y(t) \Big)\ \Big( \theta^\prime (t) - 1\Big) =0\; .
\]
Conseguentemente o è \(\theta^\prime (t)=1\), ossia \(\theta (t)=t\) (qui assumo \(\theta(0)=\text{anomalia di } (x_0,0)=0\)), oppure è \(\cos \theta (t)\ x(t) + \sin \theta (t)\ y(t) =0\) ovvero:
\[
r(t)=r(t)\ \cos^2 \theta (t) + r(t)\ \sin ^2(t) =0
\]
(ove \(r(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}\)), cioé \(r(t)=0\) ed \((x(t),y(t))=(0,0)\), il che è impossibile se \(x_0\neq 0\).
Quindi l'unica alternativa possibile è \(\theta (t)=t\) (ammesso che abbia fatto bene i conti).
Conseguentemente, nello spazio delle fasi il moto è del tipo:
\[
\begin{cases}
x(t) = r(t)\ \cos t\\
y(t) = r(t)\ \sin t
\end{cases}
\]
ed il moto è completamente determinato dalla componente radiale, la quale ha la funzione \(R(t):=r^2(t)\) governata dalla EDO detta sopra, cioé:
\[
R^\prime (t) = R(t)\ f(R(t))\; .
\]
Chiaramente se \(R(0)=x_0^2=1\) allora è \(R(t)=R^*(t)=1\) (soluzione stazionaria) sempre, quindi \((x(t),y(t))=(\cos t, \sin t)\) e stai a posto; lo stesso, se \(R(0)=x_0^2=0\) allora è \(R(t)=R_*(t)=0\) (altra soluzione stazionaria) sempre, quindi \((x(t),y(t))=(0,0)\).
Altrimenti, chiama \(R(t)\) l'integrale massimale della EDO che soddisfa la condizione iniziale. Chiaramente l'integrale massimale non può cozzare né contro la soluzione stazionaria \(R^*(t)\) né contro la soluzione stazionaria \(R_*(t)\), quindi è \(0< R(t)<1\) oppure \(R(t)>1\) a seconda della posizione di \(x_0\).
Ora, se \(x_0\in ]0,1[\), allora \(R(t)\) è limitata; ma da ciò segue che il secondo membro della EDO, i.e. \(R(t)\ f(R(t))\), è limitato in modulo e quindi è una funzione a crescita al più lineare. Un noto risultato di prolungamento implica che \(R(t)\) è definito in tutto \(\mathbb{R}\).
Dovrebbe funzionare... Ragionaci un po' tu e dimmi che ne pensi.
Argh! Non era per niente semplice.
Ora me lo riguardo bene e ti faccio sapere se mi è tutto chiaro
Intanto grazie mille!!
Ora me lo riguardo bene e ti faccio sapere se mi è tutto chiaro
Intanto grazie mille!!
[xdom="gugo82"]@ thedarkhero e lalalli91: Urgono spiegazioni, perché, come sapete, un utente non può avere più di un account.
Sono in attesa.
Se non arriveranno chiarimenti (in chiaro o in PM), chiederò il ban per entrambi gli account.[/xdom]
Sono in attesa.
Se non arriveranno chiarimenti (in chiaro o in PM), chiederò il ban per entrambi gli account.[/xdom]
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