Equazione differenziale II ordine

[FurioShow]

Salve ragazzi, la prof ci ha assegnato questo esercizio
"Si determini l’integrale generale della seguente equazione differenziale del secondo
ordine a coefficienti costanti
$y''+9y=26xe^(2x)$
Stabilire se l’equazione ha soluzioni costanti."

La soluzione generele l'ho trovata, non è quello il problema, e mi viene $y(x)=C_1cos(3x)+C_2sin(3x)+2xe^(2x)-8/13e^(2x)$

Verificato anche su wolfram, ed è giusto. L'unica cosa con cui non so proprio come muovermi è "Stabilire se l'equazione ha soluzioni costanti".
Grazie in anticipo

[feddy]

Se $y(x)$ è costante, allora $y'(x)=0$, ma senza fare le derivate, si vede che non c'è speranza di ottenere alcuna soluzione costante imponendo nulli, per esempio, $c_1,c_2$

[FurioShow]

Quindi quali sono i passaggi da seguire per capire se ci sono soluzioni costanti?
Calcolo prima la soluzione generale o posso capirlo già dall'eq.diff.?

[feddy]

A parte casi banali in cui è evidente che la soluzione può essere solo che costante, di solito si deve prima trovare l'integrale generale e porre delle condizioni sulle costanti arbitrarie

[feddy]

Se ti va prova a fare questa esercizio, molto molto molto semplice, ma potrebbe essere istruttivo. Ti lascio in spoiler la soluzione.

Si risolva l'equazione differenziale $y' + 2xy=x$.

(i)esistono soluzioni che tendono a $0$ per $x \rarr +\infty$?
(ii)Quale valore deve avere $y(0)$ affinché la soluzione sia costante?

L'integrale generale si trova essere $y(x)=1/2 + ce^(-x/2)$, $c \in RR$ costante d'integrazione.

(i) No, poiché se $x \rarr +\infty$, allora $y(x) \rarr 1/2$.
(ii) Affinché sia una soluzione costante, allora $c=0$, da cui $y(x)=1/2$. Ma allora, per il teorema di esistenza e unicità del p.d.C, la condizione iniziale deve necessariamente essere $y(0)=1/2$.

[FurioShow]

Prima di tutto grazie per le risposte.
Comunque sia, diciamo che ho capito entrambe le questioni, il limite perfettamente, mentre la seconda mi è un po' meno chiara, facendo $y(0)$ significa andare a mettere $0$ al posto delle $x$, quindi mi trovo $y(0)=1/2+c$, arrivato a questo punto non capisco perché prendere proprio $c=0$ quando posso prendere ad esempio $c=1$ e trovarmi $y(0)=3/2$, e qualsiasi altro valore...

[feddy]

Occhio al teorema di esistenza e unicità: tu sai che la soluzione generale è $y(x)=1/2 + e^(-x/2)$. E' evidente che affinché la soluzione sia costante (cioè $\forall x \in RR, f(x)= a \in RR$), deve aversi $c=0$. Per qualsiasi altro valore di $c$ questa soluzione non è costante, poiché dipende da anche da $x$. Pertanto, poiché è costante, deve avere lo stesso valore anche per $x=0$, da cui la condizione iniziale $y(0)=1/2$

[FurioShow]

Credo di aver capito, grazie per le delucidazioni.
Ultima domanda, nel caso in cui mi si chieda, non di questa equaz.diff., di trovare le soluzioni periodiche oppure le soluzioni limitate, quali sono i passaggi da seguire?

[feddy]

Per la limitatezza non è che ci sia una stratgia standard. In generale, puoi fare il limite e valutare il comportamente asintotico della funzione.

[FurioShow]

Mentre per la periodicità? Qui mi si chiede di determinare le soluzioni periodiche di:
$y''+3y'=20cosx$
Io ho già calcolato la soluzione che dovrebbe essere
$y(x)=C_1+C_2e^(-3x)+6sinx-2cosx$

A naso so che l'esponenziale non è una funzione periodica, mentre lo sono il seno ed il coseno.
Quindi per poter avere soluzioni periodiche dovrei cercarle per $C_2=0$?

[feddy]

Sì, annullando il termine in $x$, la soluzione è sicuramente periodica, di periodo $2*pi$, in quanto hai una combinazione lineare di seni e coseni (la costante non ti da fastidio).

[FurioShow]

Capito, grazie mille

[feddy]

Di niente.