Equazione differenziale help!
determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale
y'=-(1/radice x)*y+1
grazie mille se qualcuno mi può spiegare la risoluzione dell'esercizio
y'=-(1/radice x)*y+1
grazie mille se qualcuno mi può spiegare la risoluzione dell'esercizio
Risposte
caro vikingo
l’equazione differenziale da te proposta ha il grande pregio di essere lineare e quindi, in genere, di soluzione non particolarmente ardua. In questo caso conviene eliminare il termine fastidioso sotto radice ponendo t=x^1/2, da cui si ricava dx= 2*t*dt. Operando questa sostituzione l’equazione differenziale diviene…
dy/dt= -y*2*t/t +1= -2*y+1 [1]
… la cui integrazione è un procedimento del tutto ‘standard’…
cordiali saluti
lupo grigio
l’equazione differenziale da te proposta ha il grande pregio di essere lineare e quindi, in genere, di soluzione non particolarmente ardua. In questo caso conviene eliminare il termine fastidioso sotto radice ponendo t=x^1/2, da cui si ricava dx= 2*t*dt. Operando questa sostituzione l’equazione differenziale diviene…
dy/dt= -y*2*t/t +1= -2*y+1 [1]
… la cui integrazione è un procedimento del tutto ‘standard’…
cordiali saluti
lupo grigio
Riferendomi all’equazione differenziale in questione,
vorrei chiedere a vikingose ha applicato il consiglio
di lupo grigio e se ha raggiunto un risultato.
Questo perche’ a me non sembra possibile separare
con quel metodo le variabili per la loro integrazione.
Per arrivare al risultato ho impiegato un metodo molto
piu’ complicato (ma facilitato dall’uso di MathCad),
risultato che volevo appunto confrontare.
Se interessa, posso inviare la mia soluzione (con il grafico
della funzione risultante) e con in piu’ una procedura
di soluzione alternativa (alla differenze finite).
vorrei chiedere a vikingose ha applicato il consiglio
di lupo grigio e se ha raggiunto un risultato.
Questo perche’ a me non sembra possibile separare
con quel metodo le variabili per la loro integrazione.
Per arrivare al risultato ho impiegato un metodo molto
piu’ complicato (ma facilitato dall’uso di MathCad),
risultato che volevo appunto confrontare.
Se interessa, posso inviare la mia soluzione (con il grafico
della funzione risultante) e con in piu’ una procedura
di soluzione alternativa (alla differenze finite).
E' abbastanza semplice, ricordando che una soluzione di una equazione differenziale non omogenaea è data dalla combinazione lineare di una soluzione dell'equazione omogenea associata dy/dt=-2*y ottenibile per separazione delle variabili e di una soluzione dell'equazione particolare, ad esempio ottenuta cercando un regime di stazionarietà e imponendo dy/dt=0 allora
0=-2*y+1 e y=1/2
0=-2*y+1 e y=1/2
Quando ho proposto a vikingo il ‘trucco’ idoneo eliminare il termine in x^1/2 pensavo che la difficoltà principale fosse superata. Applicando la tecnica standard per la soluzione di una equazione differenziale lineari del primo ordine completa si trova che l’equazione…
y’(t)= -2*y(t)+1 [1]
… ha per soluzione…
y(t)=1/2 + c*e^-2*t [2]
… essendo c la solita ‘costante arbitraria’. Operando ora la sostituzione t=x^1/2 la funzione trovata diviene…
y(x)=1/2+c*e^(-2*x^1/2) [3]
Naturalmente è sempre possibile una verifica diretta per controllare se questa soluzione soddisfa l’equazione originariamente proposta…
cordiali saluti
lupo grigio
y’(t)= -2*y(t)+1 [1]
… ha per soluzione…
y(t)=1/2 + c*e^-2*t [2]
… essendo c la solita ‘costante arbitraria’. Operando ora la sostituzione t=x^1/2 la funzione trovata diviene…
y(x)=1/2+c*e^(-2*x^1/2) [3]
Naturalmente è sempre possibile una verifica diretta per controllare se questa soluzione soddisfa l’equazione originariamente proposta…
cordiali saluti
lupo grigio
Non ho capito se le ultime due risposte sono
la soluzione che si cerca o se sono esempi di procedura.
A me risulta una funzione quasi uguale a quella di
lupo grigio. Ma in matematica il 'quasi' non e'corretto.
Cosi' invio la mia soluzione, in attesa dei vostri commenti.
Poiche' sono sostenitore di soluzioni piu' orientate all'uso
del calcolatore, aggiungo anche la soluzione 'diretta'
(alle differenze finite), che conferma la soluzione 'matematica'.
la soluzione che si cerca o se sono esempi di procedura.
A me risulta una funzione quasi uguale a quella di
lupo grigio. Ma in matematica il 'quasi' non e'corretto.
Cosi' invio la mia soluzione, in attesa dei vostri commenti.
Poiche' sono sostenitore di soluzioni piu' orientate all'uso
del calcolatore, aggiungo anche la soluzione 'diretta'
(alle differenze finite), che conferma la soluzione 'matematica'.
cari amici
purtroppo il vecchio lupo è sempre più grigio e sempre più perde colpi…
La via da me indicata per semplificare la soluzione dell’equazione differenziale…
y’= y/x^1/2 +1 [1]
… non era sbagliata… a patto poi di… non scantonare… Ponendo t=x^1/2 si trova facilmente che dx=2*t*dt, per cui l’equazione differenziale in t diviene…
y’= -2*y+2*t [2]
… e non quella da me scritta nei precedenti post…
La [2] ha il vantaggio di essere lineare e a coefficienti costanti, per cui la sua soluzione è di molto semplificata. L’integrale generale dell’equazione omogenea [y’=-2*y] risulta essere y1(t)=c*e^(-2*t). Per trovare un integrale particolare della [2] si può far uso della trasformata di Laplace scrivendo…
s*Y(s)= -2*Y(s)+2/s^2 [3]
… da cui…
Y(s)= 2/[s^2*(s+2)]= 1/s^2-1/(2*s)+1/[2*(s+2)]] [4]
Antitrasformando la [4] si otteiene l’integrale particolare cercato…
y2(t)= t-1/2+1/2*e^(2*t) [5]
La soluzione generale dell’equazione originaria, ricordando anche la sostituzione fatta , è dunque…
y= t – ½ +c*e^(-2*t) = x^1/2 –1/2+c*e^(-2*x^1/2) [6]
… che coincide con quella trovata da g.schgor…
cordiali saluti
lupo grigio
purtroppo il vecchio lupo è sempre più grigio e sempre più perde colpi…
La via da me indicata per semplificare la soluzione dell’equazione differenziale…
y’= y/x^1/2 +1 [1]
… non era sbagliata… a patto poi di… non scantonare… Ponendo t=x^1/2 si trova facilmente che dx=2*t*dt, per cui l’equazione differenziale in t diviene…
y’= -2*y+2*t [2]
… e non quella da me scritta nei precedenti post…
La [2] ha il vantaggio di essere lineare e a coefficienti costanti, per cui la sua soluzione è di molto semplificata. L’integrale generale dell’equazione omogenea [y’=-2*y] risulta essere y1(t)=c*e^(-2*t). Per trovare un integrale particolare della [2] si può far uso della trasformata di Laplace scrivendo…
s*Y(s)= -2*Y(s)+2/s^2 [3]
… da cui…
Y(s)= 2/[s^2*(s+2)]= 1/s^2-1/(2*s)+1/[2*(s+2)]] [4]
Antitrasformando la [4] si otteiene l’integrale particolare cercato…
y2(t)= t-1/2+1/2*e^(2*t) [5]
La soluzione generale dell’equazione originaria, ricordando anche la sostituzione fatta , è dunque…
y= t – ½ +c*e^(-2*t) = x^1/2 –1/2+c*e^(-2*x^1/2) [6]
… che coincide con quella trovata da g.schgor…
cordiali saluti
lupo grigio
scusate se mi intrometto però il risultato a me non torna. io l'equazione la vedo come: y' = a(x)y + b(x) dove:
a(x) = 1/sqrt(x)
b(x) = 1
applicando la formula che avete applicato anche voi e integrando ottengo:
y = (2(sqrt(x) -1))1/2 + c
questo perchè "e elevato alla meno due radice di x" che moltiplica
"e elevato alla due radice di x" fa 1.
a(x) = 1/sqrt(x)
b(x) = 1
applicando la formula che avete applicato anche voi e integrando ottengo:
y = (2(sqrt(x) -1))1/2 + c
questo perchè "e elevato alla meno due radice di x" che moltiplica
"e elevato alla due radice di x" fa 1.
(risposta a mica81)
Quarda che il secondo termine (che elimini con il primo) e' sotto integrale.
(risposta a lupo grigio)
Ti ringrazio della conferma del risultato,
ma ne approfitto per chiederti un parere.
Forse avrai notato che in quasi tutte le
mie risposte cerco di introdurre
oltre alla soluzione classica 'matematica'
anche quella concettualmente banale alle
'differenze finite'.
Sono infatti convinto che per le applicazioni
'pratiche' e beninteso disponendo di un calcolatore,
sia piu' utile almeno per i futuri ingegneri arrivare in
questo modo a soluzioni rapide e concrete, anche se approssimate.
Lo so che si perde gran parte del fascino della sfida,
ma se l'andazzo e' questo (lauree 'brevi') non c'e'
gran spazio per l'approfondimento.
Tu che ne pensi?
G.Schgör
Quarda che il secondo termine (che elimini con il primo) e' sotto integrale.
(risposta a lupo grigio)
Ti ringrazio della conferma del risultato,
ma ne approfitto per chiederti un parere.
Forse avrai notato che in quasi tutte le
mie risposte cerco di introdurre
oltre alla soluzione classica 'matematica'
anche quella concettualmente banale alle
'differenze finite'.
Sono infatti convinto che per le applicazioni
'pratiche' e beninteso disponendo di un calcolatore,
sia piu' utile almeno per i futuri ingegneri arrivare in
questo modo a soluzioni rapide e concrete, anche se approssimate.
Lo so che si perde gran parte del fascino della sfida,
ma se l'andazzo e' questo (lauree 'brevi') non c'e'
gran spazio per l'approfondimento.
Tu che ne pensi?
G.Schgör
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