Equazione differenziale grado>2
Ciao a tutti,stavo provando a cimentarmi con le equazioni differenziali omogenee di grado superiore al 2° e,più o meno,ho capito i primi 2 casi.Ho qualche difficoltà sul 3° caso (quello con parte reale e immaginaria).Non capisco perchè,a differenza dei primi due casi,non mi è stata data una spiegazione per trovare l'integrale generale.Forse perchè non serve la soluzione reale? O_o sono terribilmente confuso a questo punto. Io come "formula" risolutiva finale alla quale giungere ho questa : $Y=(e^(ReX))[(Ke^(iImX))+(Qe^(-iImX))]$ dove Re sta per parte reale e iIm immaginaria.
Risposte
Dunque, la cosa è una semplice questione di "calcolo". Ti spiego il caso dell'equazione di ordine 2 (per le altre si procede facendo ragionamenti analoghi). Considera la ODE del secondo ordine
[tex]$y''+p y'+q y=0$[/tex] con la condizione [tex]$p^2-4q=-4\beta^2<0$[/tex] (il caso con discriminante negativo dell'equazione algebrica associata).
Se indichiamo le radici dell'equazione algebrica associata con [tex]$\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta$[/tex] dove [tex]$\alpha=-\frac{p}{2}$[/tex] allora la soluzione generale dell'equazione differenziale risulta
[tex]y(x)=e^{\alpha x}\left[C_1 e^{-i\beta x}+C_2 e^{i\beta x}\right][/tex]
Il problema sta tutto nel cercare di riscrivere il termine tra parentesi quadre in modo che risulti una funzione reale. Per fare ciò, devi ricordare (o conoscere) la seguente utile formula che lega l'esponenziale complesso alle funzioni trigonometriche
[tex]e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta[/tex]
Puoi allora scrivere la quantità tra parentesi quadre come
[tex]C_1 e^{-i\beta x}+C_2 e^{i\beta x}=C_1\cos(\beta x)-i C_1\sin(\beta x)+C_2\cos(\beta x)+i C_2\sin(\beta x)=(C_1+C_2)\cos(\beta x)+i(C_2-C_1)\sin(\beta x)[/tex]
Ricordando che le due costanti sono arbitrarie, puoi sostituirle con altre due costanti arbitrarie al modo seguente
[tex]A=C_1+C_2,\qquad B=i(C_2-C_1)[/tex] (uno studio della soluzione di questo sistema di equazioni nelle incognite [tex]C_1,\ C_2[/tex] ti permette di dire che [tex]C_1=\frac{A+iB}{2},\ C_2=\frac{A-iB}{2}[/tex])
e quindi puoi riscrivere la soluzione generale nella forma
[tex]y(x)=e^{\alpha x}\left[A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x)\right][/tex].
Spero risulti tutto chiaro.
[tex]$y''+p y'+q y=0$[/tex] con la condizione [tex]$p^2-4q=-4\beta^2<0$[/tex] (il caso con discriminante negativo dell'equazione algebrica associata).
Se indichiamo le radici dell'equazione algebrica associata con [tex]$\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta$[/tex] dove [tex]$\alpha=-\frac{p}{2}$[/tex] allora la soluzione generale dell'equazione differenziale risulta
[tex]y(x)=e^{\alpha x}\left[C_1 e^{-i\beta x}+C_2 e^{i\beta x}\right][/tex]
Il problema sta tutto nel cercare di riscrivere il termine tra parentesi quadre in modo che risulti una funzione reale. Per fare ciò, devi ricordare (o conoscere) la seguente utile formula che lega l'esponenziale complesso alle funzioni trigonometriche
[tex]e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta[/tex]
Puoi allora scrivere la quantità tra parentesi quadre come
[tex]C_1 e^{-i\beta x}+C_2 e^{i\beta x}=C_1\cos(\beta x)-i C_1\sin(\beta x)+C_2\cos(\beta x)+i C_2\sin(\beta x)=(C_1+C_2)\cos(\beta x)+i(C_2-C_1)\sin(\beta x)[/tex]
Ricordando che le due costanti sono arbitrarie, puoi sostituirle con altre due costanti arbitrarie al modo seguente
[tex]A=C_1+C_2,\qquad B=i(C_2-C_1)[/tex] (uno studio della soluzione di questo sistema di equazioni nelle incognite [tex]C_1,\ C_2[/tex] ti permette di dire che [tex]C_1=\frac{A+iB}{2},\ C_2=\frac{A-iB}{2}[/tex])
e quindi puoi riscrivere la soluzione generale nella forma
[tex]y(x)=e^{\alpha x}\left[A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x)\right][/tex].
Spero risulti tutto chiaro.
allora diverse cose le ho capite..però perdonami,sono un bel pò ignorante in matematica.Forse chiedo troppo ma non è che potreste darmi un'esempio super facile?o anche solo il testo così provo a risolverlo insieme a voi..Cmq grazie mille per la spiegazione che mi è stata utile per capire da dove saltavano fuori certi punti.
Prova a risolvere [tex]$y''+2y'+2y=0$[/tex].
grazie ciampax,però,se possibile,mi farebbe più comodo una di grado superiore al 2,quelle di grado 2 le ho capite bene (almeno spero XD)
Allora prova con questa:
[tex]y^{(iv)}+2 y'''+y''-2y'-2y=0[/tex]
[tex]y^{(iv)}+2 y'''+y''-2y'-2y=0[/tex]
[OT, terminologico]
Si chiama ordine quello delle EDO, non grado.
[/OT]
@ciampax: Era da un po' che non ti si leggeva... Bentornato! Che fine avevi fatto?
Si chiama ordine quello delle EDO, non grado.
[/OT]
@ciampax: Era da un po' che non ti si leggeva... Bentornato! Che fine avevi fatto?
se non ci fosse $y^(iv)$ forse saprei dove mettere mano O_o
Ma scrivere il polinomio algebrico associato all'equazione no?
fin li ci arrivo e con $y^(iv)$ che ci faccio?
[tex]\lambda^4[/tex] ??? 
lambda immagino sia quella che io uso come h,ma perchè diventa così? da iv a 4?
@Satiro: Scusa, ma la teoria l'hai studiata?
No, perchè pare che tu non abbia proprio capito come e perchè si corstruisce il polinomio caratteristico associato ad una EDO lineare a acoefficienti costanti.
Buon senso vorrebbe che lo studente prendesse il libro e studiasse almeno le basi della teoria, prima di mettersi a fare esercizi.
No, perchè pare che tu non abbia proprio capito come e perchè si corstruisce il polinomio caratteristico associato ad una EDO lineare a acoefficienti costanti.
Buon senso vorrebbe che lo studente prendesse il libro e studiasse almeno le basi della teoria, prima di mettersi a fare esercizi.
grazie della lezione di buon senso gugo,purtroppo questo particolare punto non l'ho capito con la teoria,mi è più utile perciò vedere un esempio.
Se hai capito come si costruisce il polinomio caratteristico per le EDO del secondo ordine, perchè non procedi per analogia?
in questo in particolare non riesco a capire come tirar fuori le radici dall'eq associata dopo i vari raccoglimenti.Tralasciando comunque che ho appena iniziato e mai ho visto usare le lambda,ma questa è solo una questione di lettere e,probabilmente per caso,mi è sempre capitata un'equazione di 2° grado(al termine dei raccoglimenti) per quanto riguarda quelle di ordine superiore al 2.Poi non capisco perchè questo 3° punto mi è stato spiegato in maniera diversa dai primi due,normalmente la scaletta è radici->singoli integrali->integrale generale->eventuale int particolare,mentre il 3° caso che mi è stato spiegato non arriva all'integrale generale,o meglio,arriva a qualcosa che vi assomiglia.
Scrivi l'equazione associata alla EDO di ordine 4 ( che tu usi $lambda $ oppure $h $ come variabile non fa ovviamente differenza).
Se poi, come penso hai qualche difficoltà a trovare le radici di una equazione algebrica di quarto grado , pensa al buon vecchio Ruffini -Teorema o regola che dir si voglia.
Se poi, come penso hai qualche difficoltà a trovare le radici di una equazione algebrica di quarto grado , pensa al buon vecchio Ruffini -Teorema o regola che dir si voglia.
beh l'equazione associata è $h^4+2h^3+h^2-2h-2=0$,caspita se odio Ruffini,che diventa quindi $h^3+3h^2+4h+2$ se ancora ricordo come funziona ruffini.Una domanda,ma io posso fare come negli integrali di equazioni frazionarie per quanto riguarda i raccoglimenti? in questo caso ad esempio potrei fare $(h+2)(h^2+3h+4)=0$ ? altrimenti posso usare ancora ruffini fino a farlo diventare $h^2+2h+2$ sempre ammesso che ricordi correttamente ruffini..
quindi ottengo $h1= -1-i$ e $h2=-1+i$ se è come con quelle del secondo ordine a questo punto ho Re(reale) =-1 e Im=1
quindi ottengo $Y1= (e^(-x))[(Ke^(ix))+(Qe^(-ix))]$ però non so come procedere dopo questo punto.
ho capito ora che quell'iv era un quattro "romano",credevo ci fosse già un immaginario ancor prima di cominciare,vorrei però capire la differenza tra le due formule per l'integrale generale proposte da ciampax all'inizio,una con C1 e C2 e l'altra con A e B.Cioè + che altro mi interessa sapere quale delle due sarebbe meglio prendere in considerazione.
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