Equazione differenziale grado primo - come risolverla?

[diegopm]

Vorrei sapere come risolvere tale equazione differenziale:

y'=y^2+a con a valore reale

[gugo82]

L'equazione è a variabili separabili.
La sua soluzione non presenta grandi difficoltà se sai calcolare gli integrali elementari.

Ovviamente dovrai distinguere cosa accade a seconda del segno di $a$.

[diegopm]

Avevo capito che era a variabili separabili ma come la devo risolvere?
In quanto non so davvero come trattare a, sarebbe possibile avere i passaggi?

[Sk_Anonymous]

Gugo82 ti ha praticamente risolto l'esercizio: http://it.wikipedia.org/wiki/Metodi_di_soluzione_analitica_per_equazioni_differenziali_ordinarie#Equazioni_differenziali_a_variabili_separabili dovrebbe farti un bel sunto per quanto riguarda la teoria. A questo punto, prova a postare i tuoi passaggi (o almeno un'idea).

[diegopm]

Sono in grado di risolvere l'equazione a variabili separabili se il parametro a è nullo, altrimenti a mio avviso proprio perchè c'è a l'equazione a quel punto non è piu' a variabii separabili....

[Mach2]

Il parametro $a$ è comunque una costante e quindi la tratti come tale. Dividi entrambi per $y^2+a$ e così ottieni
$(y')/(y^2+a)=1$

Qui ora devi valutare se $a$ sia costante negativa o positiva, per cui ti verranno risultati diversi.

[diegopm]

Grazie adesso è piu' chiaro

[Sk_Anonymous]

E perchè mai non sarebbe a variabili separabili?

$y'=y^2$, per Picard puoi dividere, ottenendo $(y')/(y^2)=1$. Integrando, ottieni $-1/y=t+c$, con $c$ costante di integrazione, da cui è immediato trovare l'espressione analitica di $y$. A questa puoi aggiungere la soluzione costante $y(t)=0$.
Ulteriori dettagli, se ti interessano, puoi trovarli in questa mia 'vecchia' discussione con Fioravante: http://www.matematicamente.it/forum/soluzioni-massimali-t38594.html