Equazione differenziale- Funzione integrale

[mauri54]

Ciao a tutti,
Come faccio a stabilire se la seguente funzione
$ f(x)=xe^{-x}-\int_{0}^{x}\frac{e^{-t}}{t+1}\ dt $
possa essere una soluzione di un'equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti?
Questo esercizio è richiesto dopo aver studiato il grafico della $f$, stabilito se è invertibile e trovato una restrizione dell'inversa in cui l'inversa stessa sia derivabile.
($f$ risulta decrescente in $dom(f)=(-1,+\infty)$)

[LLG GKV]

Se può esserne soluzione allora avrai che per $ a_iin RR $ con $ iin {1;ldots;n} $, avrai che $ f+sum_(i = 1) ^(n)a_i(d^i)/dx^i f =0 $ è l'equazione differenziale che la tua funzione deve soddisfare, ma, ricordando un teorema di analisi, deve essere che la tua funzione è esprimibile come combinazione lineare di esponenziali, reali o complessi, ognuno della forma $ f_i=e^(k_ix) $ , quindi devi dimostrare che la tua funzione può essere scritta nella forma di combinazione lineare di esponenziali, il che equivale a dire che la sua derivata può essere scritta in tale forma, ossia $ sum_(i = 1)\lambda_ie^(k_ix)=x^2e^(-x)-e^-x/(x+1) $ con i $ \lambda_i $ reali e i $ k_i $ reali o complessi.

[mauri54]

Grazie per la risposta.
Alla era molto più semplice. Basta osservare che se fosse stata una soluzione di un eq diff lineare omogenea a coeff costanti avrebbe avuto una soluzione su tutto $\mathbb{R}$, ma il dominio di $f$ è $(-1,+\infty)$