Equazione differenziale (forse l'ultima :D)

[Horus2]

Tra gli esercizi svolti di matematicamente ho trovato questa equazione differenziale, che riscrivo per semplicità:

$y''-y'-2y=2sinx

$y^2-y-2=0$ ==> equazione caratteristica
da cui le radici sono $t_1=-1 t_2=2

$y=c_1e^(-x)+c_2e^(2x)$ ==> equazione omogenea

Grazie agli aiuti nel forum (ringrazio tutti di nuovo per la cortesia) sono riuscito a capire come ha fatto ad arrivare sino a qua. Poi viene detto che una forma dell'integrale particolare è $y=asinx+bcosx$.
Ho capito che l'ha presa intuitivamente, ma come ci è arrivato?

Poi ho capito che bisogna fare la derivata prima e seconda di questo integrale particolare e sostituire i valori all'equazione differenziale iniziale.
A questo punto dice di applicare il principio d'identità di polinomi. Questa è la mia seconda e ultima domanda: dopo aver sostituito all'equazione differenziale, con cosa devo porla l'uguaglianza?

Se soddisfatte questi miei ultimi dubbi, ho capito praticamente tutto dell'equazione differenziale

[Nidhogg]

Credo che intendi questo (in particolare punto c):

[Camillo]

Il termie noto in questo caso è : $ 2*sin x$ ; allora per il principio di somiglianza l'integrale particolare dell'equazione differenziale sarà appunto molto simile al termine noto , ma conviene scriverlo come combinazione lineare di seni e coseni per maggiore generalità .
Ipotizzo quindi che : $ y = acosx +bsinx $.
Adesso devo determinare le costanti a , b.
Per far questo inserisci la presunta soluzione , appunto $ y = a cosx +bsinx $ nell'equazione differenziale completa , naturalmente dovrai calcolare $y',y''$ della funzione presunta e poi inserisci le espressioni che hai ottenuto nella equazione : $y''-y'-2y= 2 sinx $.
Adesso fai in modo di ottenere una identità, valida per turri i valori di x .
Faccio un esempio, se alla fine dei conti ottenessi questo :
$2asinx +bcosx = 2sinx $ dedurresti che : $ b=0, a = 1 $ , avrai così determinato le costanti incognite a , b e quindi avrai definito la soluzione particolare .
A questo punto la soluzione generale della equazione iniziale non omogenea sarà data dalla somma della soluzione generale della equazione omogenea associata più una soluzione particolare della equazione iniziale , soluzione che hai appena trovato.
Prova e se hai problemi , siamo qua .

Camillo

[Horus2]

Penso di aver capito tutto.
Adesso proverò a farne qualcuna presa dai libri.

Grazie a entrambi per l'aiuto!