Equazione differenziale facile!
ciao a tutti ho questa equazione: $u'=(t+u)^2$ da ricondurre a variabili separabili! premetto che abbiamo appena cominciato a studiare questo tipo di equazioni quindi la mia preparazione su ciò è ancora scarsa! potreste aiutarmi a capire l'algoritmo risolutivo? 
EDIT: per semplificare la notazione e per una questione di forma posso scriverla come $f(t,u(t))=(t+u(t))^2$, applicando una sostituzione posso scriverla dunque nella forma: $f(x,y)=(x+y)^2$
EDIT: per semplificare la notazione e per una questione di forma posso scriverla come $f(t,u(t))=(t+u(t))^2$, applicando una sostituzione posso scriverla dunque nella forma: $f(x,y)=(x+y)^2$
Risposte
Prova a sostituire $t+u(t)=z(t)$.
ok grazie mille robbstark 
! potresti aiutarmi anche con questo che è un pò + difficile?
$u+t+(t+2u)u'=0$;
Portato in forma normale ho che: $u'=(-u-t)/(t+2u)$ ora non capisco dove applicare la sostituzione uffa!
! potresti aiutarmi anche con questo che è un pò + difficile?$u+t+(t+2u)u'=0$;
Portato in forma normale ho che: $u'=(-u-t)/(t+2u)$ ora non capisco dove applicare la sostituzione uffa!
[tex]$t+2u(t)=z(t)$[/tex]?
mmm..e poi come risolvo? verrebbe $u'=(-u-t)/z$; quindi $u'z+u=-t$ e dovrei integrare per parti?
Due incognite nella stessa EDO?!?!
Rifai bene i conti.
Rifai bene i conti.
mmmm...no nn vi seguo! gugo se t riferisci alla sostituzione allora verrebbe: $u'=(-u-t)/(t+2u)$
Pongo: $z=t+2u$; $u=(z-t)/2$.
Sostituisco e dopo tutti i calcoli ottengo che: $u'=-1/2-t/(2z)$. Come procedo? Forse non riconosco qualche derivata?
Pongo: $z=t+2u$; $u=(z-t)/2$.
Sostituisco e dopo tutti i calcoli ottengo che: $u'=-1/2-t/(2z)$. Come procedo? Forse non riconosco qualche derivata?
"paolotesla91":
Pongo: $z=t+2u$; $u=(z-t)/2$.
Quindi $u'=(z'-1)/2$. Poi sostituisci.
In pratica dopo che fai la sostituzione, tutte le $u$ le devi fare sparire, altrimenti avresti due incognite nella stessa equazione.
Scusa, paolo, ma non puoi avere una EDO con [tex]$u$[/tex] e [tex]$z$[/tex] come incognite... L'incognita o è [tex]$u$[/tex] o è [tex]$z$[/tex].
La sostituzione proposta [tex]$z(t)=t+2u(t)$[/tex] implica [tex]$z^\prime(t)=1+2u^\prime(t)$[/tex], ergo [tex]$u^\prime (t)=\tfrac{1}{2}z^\prime (t)-\tfrac{1}{2}$[/tex]; conseguentemente la EDO si riscrive:
[tex]$\tfrac{1}{2} [z(t)-t]+t+z(t)[\tfrac{1}{2}z^\prime (t)-\tfrac{1}{2}]=0$[/tex]
ossia:
[tex]$t+z(t)z^\prime(t)=0$[/tex].
La sostituzione proposta [tex]$z(t)=t+2u(t)$[/tex] implica [tex]$z^\prime(t)=1+2u^\prime(t)$[/tex], ergo [tex]$u^\prime (t)=\tfrac{1}{2}z^\prime (t)-\tfrac{1}{2}$[/tex]; conseguentemente la EDO si riscrive:
[tex]$\tfrac{1}{2} [z(t)-t]+t+z(t)[\tfrac{1}{2}z^\prime (t)-\tfrac{1}{2}]=0$[/tex]
ossia:
[tex]$t+z(t)z^\prime(t)=0$[/tex].
ahhh okok adesso si ho capito! adesso questa è a variabili separabili e dunque ho che: $t+(t+2u)(1+2u')=0$
faccio i conti ed ho che alla fine: $u'=(-2t-2u)/(2t+4u) => u'=-((t+u)/(t+2u))$ da cui ho che:
$(u')/(t+u)=-1/(t+2u)$ ed integrando ho: $ln(t+u)=-ln(t+2u)$
E' tutto giusto?
EDIT: così facendo però vado a finire cn un equazione di secondo grado in u e considerando che $t in [a,b]$ dunque è un numero, otengo due soluzioni in funzione di t, ma una eq. differenziale dovrebbe darmi una funzione non un numero! :S
adesso questa è a variabili separabili e dunque ho che: $t+(t+2u)(1+2u')=0$faccio i conti ed ho che alla fine: $u'=(-2t-2u)/(2t+4u) => u'=-((t+u)/(t+2u))$ da cui ho che:
$(u')/(t+u)=-1/(t+2u)$ ed integrando ho: $ln(t+u)=-ln(t+2u)$
E' tutto giusto?
EDIT: così facendo però vado a finire cn un equazione di secondo grado in u e considerando che $t in [a,b]$ dunque è un numero, otengo due soluzioni in funzione di t, ma una eq. differenziale dovrebbe darmi una funzione non un numero! :S
Ma perché non risolvi l'equazione rispetto a [tex]$z(t)$[/tex]? A quel punto la sostituzione è inutile, se la fai come dici! Ed inoltre è sbagliata!!!!!!!!!
quindi sarebbe $z=-(t/(z'))$. Dunque devo fare l'integrale della quantità a secondo membro giusto?
????????????????????????????????????????????????????
Ma io mi chiedo: ma le hai studiate le equazioni differenziali? No, perché mi sembra che tu stia sparando a caso un mucchi di sciocchezze!
Con la sostituzione proposta [tex]$t+2u(t)=z(t)$[/tex] ottieni [tex]$u(t)=\frac{z(t)-t}{2}$[/tex] per cui l'equazione differenziale diventa
[tex]$\frac{z(t)-t}{2}+t+z(t)\cdot\frac{z'(t)-1}{2}=0\ \Rightarrow\ z(t)-t+2t+z(t)\cdot z'(t)-z(t)=0\ \Rightarrow\ z(t)\cdot z'(t)=-t$[/tex]
che è una equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Sai risolverla?
Ma io mi chiedo: ma le hai studiate le equazioni differenziali? No, perché mi sembra che tu stia sparando a caso un mucchi di sciocchezze!
Con la sostituzione proposta [tex]$t+2u(t)=z(t)$[/tex] ottieni [tex]$u(t)=\frac{z(t)-t}{2}$[/tex] per cui l'equazione differenziale diventa
[tex]$\frac{z(t)-t}{2}+t+z(t)\cdot\frac{z'(t)-1}{2}=0\ \Rightarrow\ z(t)-t+2t+z(t)\cdot z'(t)-z(t)=0\ \Rightarrow\ z(t)\cdot z'(t)=-t$[/tex]
che è una equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Sai risolverla?
si ho capito i passaggi fino a questo punto! Non le ho studiate benissimo anche perchè abbiamo da poco cominciato questo argomento l'ho premesso all'inizio! ora questa è a variabili separabili, tu mi hai detto di risolverla rispetto a z! le so risolvere ma questa non è come quella di prima!
Posso dirti una cosa: non ho capito niente di quello che hai scritto.
La mia domanda è: sai risolvere una equazione a variabili separabili? Tu hai risposto: le so risolvere. Cosa importa che sia "diversa da quella all'inizio? Una equazione a variabili separabili ha la forma generale: [tex]$y'=f(x)\cdot g(y)$[/tex]. Come si risolve in generale? E quindi come risolvi questa?
La mia domanda è: sai risolvere una equazione a variabili separabili? Tu hai risposto: le so risolvere. Cosa importa che sia "diversa da quella all'inizio? Una equazione a variabili separabili ha la forma generale: [tex]$y'=f(x)\cdot g(y)$[/tex]. Come si risolve in generale? E quindi come risolvi questa?
in generale devo fare in modo da avere a primo membro una quantità di cui calcolo l'integrale e a secondo membro la stessa csa! giusto?
Veramente potresti scrivere una "formuletta" per risolverla (ecco, se adesso sta cosa la legge Fioravante mi spenna!)
questa? : $u(t)=G^(-1)(\Phi(t)+c)$
EDIT: quindi rapportato al mio caso sarebbe:
$z'=-(t)/z$ quindi: $(du)/dt=-(t)/(t+2u)$ separo le variabili ed ho:
$(t+2u)du=-tdt$ e quidni faccio gli integrali giusto?
EDIT: quindi rapportato al mio caso sarebbe:
$z'=-(t)/z$ quindi: $(du)/dt=-(t)/(t+2u)$ separo le variabili ed ho:
$(t+2u)du=-tdt$ e quidni faccio gli integrali giusto?
Sinceramente credo tu abbia MOLTA confusione in testa: separare le variabili vuol dire, letteralmente, mettere tutte le x da una parte e tutte le y da un'altra. Quindi l'equazione generale [tex]$y'=f(x)\cdot g(y)$[/tex] diventa [tex]$\frac{y'}{g(y)}=f(x)$[/tex] questo avendo supposto [tex]$g(y)\ne 0$[/tex]. A questo punto, usando un metodo "poco ortodosso" puoi dire che
[tex]\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\ dx+c$[/tex]
Prova adesso... ma segui il mio consiglio: prima studia bene quello che hai da fare, altrimenti ti assicuro che non vai da nessuna parte. Ed in ogni caso, ti ho detto che prima devi risolvere l'equazione con la variabile [tex]$z(t)$[/tex] e solo alla fine operare la sostituzione inversa!
[tex]\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\ dx+c$[/tex]
Prova adesso... ma segui il mio consiglio: prima studia bene quello che hai da fare, altrimenti ti assicuro che non vai da nessuna parte. Ed in ogni caso, ti ho detto che prima devi risolvere l'equazione con la variabile [tex]$z(t)$[/tex] e solo alla fine operare la sostituzione inversa!
si in effetti sono molto confuso! non potresti per fare farmi un esempio cosicchè possa capire meglio? oppure farmi capire con lo stesso esercizio? Il primo mi è riuscito forse perchè era immediato ma non ho fatto molti esercizi a riguardo quindi non conosco bene le situazioni ke possono venir fuori! seguirò il tuo consiglio comunque...approfondirò la teoria!
L'equazione è [tex]$z(t)\cdot z'(t)=-t$[/tex] che risulta GIA' con le variabili separate: puoi scrivere allora
[tex]$\int z\ dz=\int(-t)\ dt+c\ \Rightarrow\ \frac{[z(t)]^2}{2}=-\frac{t^2}{2}+c\ \Rightarrow\ z(t)=\sqrt{c-t^2}$[/tex]
Ricordando che [tex]$z(t)=2u(t)+t$[/tex] ricavi
[tex]$u(t)=\frac{\sqrt{c-t^2}-t}{2}$[/tex]
Una osservazione: la soluzione scritta dipende dalla costante $c$ che qui risulta arbitraria. Se [tex]$c\le 0$[/tex] la funzione [tex]$z(t)$[/tex] non è mai definita.
[tex]$\int z\ dz=\int(-t)\ dt+c\ \Rightarrow\ \frac{[z(t)]^2}{2}=-\frac{t^2}{2}+c\ \Rightarrow\ z(t)=\sqrt{c-t^2}$[/tex]
Ricordando che [tex]$z(t)=2u(t)+t$[/tex] ricavi
[tex]$u(t)=\frac{\sqrt{c-t^2}-t}{2}$[/tex]
Una osservazione: la soluzione scritta dipende dalla costante $c$ che qui risulta arbitraria. Se [tex]$c\le 0$[/tex] la funzione [tex]$z(t)$[/tex] non è mai definita.
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