Equazione differenziale eulero
salve
ho quest equazione differenziale (con U funzione di t)
(t^2 - 1)U'' + tU' - U = 0
non riesco a risolverla! dovrebbe essere "parente" dell equazione di eulero-lagrange (che so risolvere) ma non trovo un modo o un cambio di variabile per poterla risolvere
mi potreste dare una mano? grazie
ho quest equazione differenziale (con U funzione di t)
(t^2 - 1)U'' + tU' - U = 0
non riesco a risolverla! dovrebbe essere "parente" dell equazione di eulero-lagrange (che so risolvere) ma non trovo un modo o un cambio di variabile per poterla risolvere
mi potreste dare una mano? grazie
Risposte
Ovviamente non è l'equazione di Eulero perchè c'è un $(t^2-1)U''$ al posto di $t^2U''$.
Potresti pensare di risolverla integrando per serie; ti assicuro che le relazioni ricorrenti per i coefficienti non vengono difficili.
La cosa migliore, inoltre, sarebbe assegnare anche un po' di condizioni iniziali (o al bordo).
Noto che l'intervallo di convergenza della serie sarebbe al massimo $[-1,1]$: infatti il coefficiente di $U''$ si annulla in $pm 1$ e perciò di prolungare analiticamente la soluzione fuori dall' intervallo che ha $pm 1$ come estremi non se ne parla.
Potresti pensare di risolverla integrando per serie; ti assicuro che le relazioni ricorrenti per i coefficienti non vengono difficili.
La cosa migliore, inoltre, sarebbe assegnare anche un po' di condizioni iniziali (o al bordo).
Noto che l'intervallo di convergenza della serie sarebbe al massimo $[-1,1]$: infatti il coefficiente di $U''$ si annulla in $pm 1$ e perciò di prolungare analiticamente la soluzione fuori dall' intervallo che ha $pm 1$ come estremi non se ne parla.
mi spiace io non ho fatto le integrazioni con le serie.. posso immaginare piu o meno cosa siano ma non mi sbilancio..
Allora vedo un po' di spiegarti.
Visto che i coefficienti dell'equazione sono abbastanza regolari (infatti $t^2-1,t,-1$ sono funzioni di classe $C^oo$ ed anche analitiche* in tutto $RR$), possiamo supporre che anche la soluzione $U$ goda di tali proprietà, almeno localmente.
Questo ragionamento ci porta naturalmente a cercare di esprimere $U$ come somma di una serie di potenze; visto che i punti $pm 1$ sono gli zeri del coefficiente di $U''$ (in termini tecnici, $pm 1$ si chiamano punti singolari dell'equazione), possiamo prendere come centro dello sviluppo il punto medio, ossia $0$: quindi dobbiamo vedere se è possibile determinare una successione $(a_n)$ di numeri reali tali che risulti:
$U(t)=\sum_(n=0)^(+oo)a_nt^n \quad$ (almeno in un intorno di $0$).
Supponiamo che la serie $\sum_(n=0)^(+oo)a_nt^n=a_0+a_1t+\sum_(n=2)^(+oo)a_nt^n$ converga intorno a $0$: in tale ipotesi è lecito derivare termine a termine e scrivere:
$U'(t)=\sum_(n=1)^(+oo)na_nt^(n-1)\quad$ e $\quad U''(t)=\sum_(n=2)^(+oo)n(n-1)a_nt^(n-2)$
moltiplicando $U'$ per $t$ ed $U''$ per $t^2-1$ otteniamo:
$tU'(t)=\sum_(n=1)^(+oo)na_nt^n=a_1t+\sum_(n=2)^(+oo) na_nt^n\quad$ e
$(t^2-1)U''(t)=(t^2-1)*\sum_(n=2)^(+oo) n(n-1)a_nt^(n-2)$
$\quad \quad= \sum_(n=2)^(+oo) n(n-1)a_nt^n-\sum_(n=2)^(+oo) n(n-1)a_nt^(n-2)$
$\quad \quad=\sum_(n=2)^(+oo) n(n-1)a_nt^n-2a_2-6a_3t-\sum_(n=2)^(+oo) (n+2)(n+1)a_(n+2)t^n$ (qui ho portato i primi due termini fuori dalla seconda sommatoria ed ho cambiato l'indice in quel che rimaneva)
$\quad \quad =-2a_2-6a_3t+\sum_(n=2)^(+oo) [n(n-1)a_n-(n+2)(n+1)a_(n+2)]t^n$
quindi si ha:
$(t^2-1)U''+tU'-U=-2a_2-6a_3t+\sum_(n=2)^(+oo) [n(n-1)a_n-(n+2)(n+1)a_(n+2)]t^n+a_1t+\sum_(n=2)^(+oo) na_nt^n-a_0-a_1t-\sum_(n=2)^(+oo)a_nt^n$
$\quad \quad =-(a_0+2a_2)-6a_3t+\sum_(n=2)^(+oo) [n(n-1)a_n-(n+2)(n+1)a_(n+2)+na_n-a_n]t^n$
$\quad \quad =-(a_0+2a_2)-6a_3t+\sum_(n=2)^(+oo) [(n+1)(n-1)a_n-(n+2)(n+1)a_(n+2)]t^n\quad$.
Allora la nostra funzione $U(t)=\sum_(n=0)^(+oo)a_nt^n$ è una soluzione dell'equazione se e solo se riusciamo a determinare i coefficienti $(a_n)$ in modo che risulti:
$-(a_0+2a_2)-6a_3t+\sum_(n=2)^(+oo) [(n+1)(n-1)a_n-(n+2)(n+1)a_(n+2)]t^n=0 \quad \Leftrightarrow$
$\quad \Leftrightarrow \{(-(a_0+2a_2)=0 ),(-6a_3=0 ),((n+1)(n-1)a_n-(n+2)(n+1)a_(n+2)=0 " , per ogni " n>=2):}$
(poichè una serie di potenze è nulla se e solo se ha tutti i coefficienti nulli).
Dall'ultimo sistema trai:
$\{(a_2=-a_0/2),(a_3=0),(a_(n+2)=(n-1)/(n+2)a_n " , per ogni " n>=2):}$
dall'ultima formula (detta relazione ricorrente per i coefficienti della serie) per $n>=3$ dispari trai $a_n=0$, mentre per $n>=4$ pari hai:
$a_n=(n-3)/na_(n-2)=(n-3)/n*(n-5)/(n-2)a_(n-4)=\ldots =(2*(n-3)!!)/(n!!) a_2=-((n-3)!!)/(n!!) a_0$,
cosicché la tua soluzione dovrebbe essere del tipo:
(*) $\quad U(t)=a_0+a_1t-a_0/2t^2-a_0\sum_(h=2)^(+oo) ((2h-3)!!)/((2h)!!) t^(2h)$.
La serie a secondo membro di (*) converge in $]-1,1[$, come si verifica facilmente col criterio del rapporto; pertanto (*) definisce una funzione in $]-1,1[$ la quale, per costruzione, è soluzione dell'equazione assegnata.
Noto che la $U$ definita da (*) dipende da due parametri, ossia $a_0,a_1$: ciò è nella natura delle cose, giacché stiamo risolvendo un'equazione del secondo ordine.
Inoltre, per $a_0=0,a_1=1$ si ottiene la soluzione banale $U(x)=x$ (che si vedeva pure ad occhio, senza fare conti) e che mi pare essere l'unica soluzione analitica dell'equazione definita in tutto $RR$.
__________
* Analitiche vuole dire sviluppabili in serie di potenze intorno ad ogni punto di $RR$.
Visto che i coefficienti dell'equazione sono abbastanza regolari (infatti $t^2-1,t,-1$ sono funzioni di classe $C^oo$ ed anche analitiche* in tutto $RR$), possiamo supporre che anche la soluzione $U$ goda di tali proprietà, almeno localmente.
Questo ragionamento ci porta naturalmente a cercare di esprimere $U$ come somma di una serie di potenze; visto che i punti $pm 1$ sono gli zeri del coefficiente di $U''$ (in termini tecnici, $pm 1$ si chiamano punti singolari dell'equazione), possiamo prendere come centro dello sviluppo il punto medio, ossia $0$: quindi dobbiamo vedere se è possibile determinare una successione $(a_n)$ di numeri reali tali che risulti:
$U(t)=\sum_(n=0)^(+oo)a_nt^n \quad$ (almeno in un intorno di $0$).
Supponiamo che la serie $\sum_(n=0)^(+oo)a_nt^n=a_0+a_1t+\sum_(n=2)^(+oo)a_nt^n$ converga intorno a $0$: in tale ipotesi è lecito derivare termine a termine e scrivere:
$U'(t)=\sum_(n=1)^(+oo)na_nt^(n-1)\quad$ e $\quad U''(t)=\sum_(n=2)^(+oo)n(n-1)a_nt^(n-2)$
moltiplicando $U'$ per $t$ ed $U''$ per $t^2-1$ otteniamo:
$tU'(t)=\sum_(n=1)^(+oo)na_nt^n=a_1t+\sum_(n=2)^(+oo) na_nt^n\quad$ e
$(t^2-1)U''(t)=(t^2-1)*\sum_(n=2)^(+oo) n(n-1)a_nt^(n-2)$
$\quad \quad= \sum_(n=2)^(+oo) n(n-1)a_nt^n-\sum_(n=2)^(+oo) n(n-1)a_nt^(n-2)$
$\quad \quad=\sum_(n=2)^(+oo) n(n-1)a_nt^n-2a_2-6a_3t-\sum_(n=2)^(+oo) (n+2)(n+1)a_(n+2)t^n$ (qui ho portato i primi due termini fuori dalla seconda sommatoria ed ho cambiato l'indice in quel che rimaneva)
$\quad \quad =-2a_2-6a_3t+\sum_(n=2)^(+oo) [n(n-1)a_n-(n+2)(n+1)a_(n+2)]t^n$
quindi si ha:
$(t^2-1)U''+tU'-U=-2a_2-6a_3t+\sum_(n=2)^(+oo) [n(n-1)a_n-(n+2)(n+1)a_(n+2)]t^n+a_1t+\sum_(n=2)^(+oo) na_nt^n-a_0-a_1t-\sum_(n=2)^(+oo)a_nt^n$
$\quad \quad =-(a_0+2a_2)-6a_3t+\sum_(n=2)^(+oo) [n(n-1)a_n-(n+2)(n+1)a_(n+2)+na_n-a_n]t^n$
$\quad \quad =-(a_0+2a_2)-6a_3t+\sum_(n=2)^(+oo) [(n+1)(n-1)a_n-(n+2)(n+1)a_(n+2)]t^n\quad$.
Allora la nostra funzione $U(t)=\sum_(n=0)^(+oo)a_nt^n$ è una soluzione dell'equazione se e solo se riusciamo a determinare i coefficienti $(a_n)$ in modo che risulti:
$-(a_0+2a_2)-6a_3t+\sum_(n=2)^(+oo) [(n+1)(n-1)a_n-(n+2)(n+1)a_(n+2)]t^n=0 \quad \Leftrightarrow$
$\quad \Leftrightarrow \{(-(a_0+2a_2)=0 ),(-6a_3=0 ),((n+1)(n-1)a_n-(n+2)(n+1)a_(n+2)=0 " , per ogni " n>=2):}$
(poichè una serie di potenze è nulla se e solo se ha tutti i coefficienti nulli).
Dall'ultimo sistema trai:
$\{(a_2=-a_0/2),(a_3=0),(a_(n+2)=(n-1)/(n+2)a_n " , per ogni " n>=2):}$
dall'ultima formula (detta relazione ricorrente per i coefficienti della serie) per $n>=3$ dispari trai $a_n=0$, mentre per $n>=4$ pari hai:
$a_n=(n-3)/na_(n-2)=(n-3)/n*(n-5)/(n-2)a_(n-4)=\ldots =(2*(n-3)!!)/(n!!) a_2=-((n-3)!!)/(n!!) a_0$,
cosicché la tua soluzione dovrebbe essere del tipo:
(*) $\quad U(t)=a_0+a_1t-a_0/2t^2-a_0\sum_(h=2)^(+oo) ((2h-3)!!)/((2h)!!) t^(2h)$.
La serie a secondo membro di (*) converge in $]-1,1[$, come si verifica facilmente col criterio del rapporto; pertanto (*) definisce una funzione in $]-1,1[$ la quale, per costruzione, è soluzione dell'equazione assegnata.
Noto che la $U$ definita da (*) dipende da due parametri, ossia $a_0,a_1$: ciò è nella natura delle cose, giacché stiamo risolvendo un'equazione del secondo ordine.
Inoltre, per $a_0=0,a_1=1$ si ottiene la soluzione banale $U(x)=x$ (che si vedeva pure ad occhio, senza fare conti) e che mi pare essere l'unica soluzione analitica dell'equazione definita in tutto $RR$.
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* Analitiche vuole dire sviluppabili in serie di potenze intorno ad ogni punto di $RR$.
grazie mille! sei stato molto chiaro! ora ho le idee piu chiare (i miei sospetti erano fondati.. immaginavo si trattasse di un procedimento simile ma non sapevo neppure da dove cominciare)
Io avrei fatto così:
$0=(t^2-1) U''+t U'-U=[(t^2-1) U''+2t U']-[t U'+U]=[(t^2-1)U']'-[tU]'$
e quindi $(t^2-1)U'-tU=c$ dove $c$ è una costante reale. A questo punto, integri come una equazione del primo ordine lineare, scrivendo
$U'-t/{t^2-1} U=c/{t^2-1}$ da cui, essendo $p(t)=t/{1-t^2}$ e quindi $P(t)=\int p(t)\ dt=-1/2\log|1-t^2|$, si ricava
$U(t)=\sqrt{1-t^2}[\int\frac{c}{(1-t^2)^{3/2}}\ dt+k]$.
Basta a questo punto calcolare l'integrale, che non è poi tanto difficile, ed il gioco è fatto (suggerimento: poni $t=\cosh y$).
P.S.: ovviamente ho solo effettuato una soluzione "simbolica" della equazione, senza pormi domande riguardo a quando e se essa risulti ben definita. Quello che dice Gugo, riguardo la globalità della soluzione, lo puoi determinare immediatamente osservando dove è definita la radice.
$0=(t^2-1) U''+t U'-U=[(t^2-1) U''+2t U']-[t U'+U]=[(t^2-1)U']'-[tU]'$
e quindi $(t^2-1)U'-tU=c$ dove $c$ è una costante reale. A questo punto, integri come una equazione del primo ordine lineare, scrivendo
$U'-t/{t^2-1} U=c/{t^2-1}$ da cui, essendo $p(t)=t/{1-t^2}$ e quindi $P(t)=\int p(t)\ dt=-1/2\log|1-t^2|$, si ricava
$U(t)=\sqrt{1-t^2}[\int\frac{c}{(1-t^2)^{3/2}}\ dt+k]$.
Basta a questo punto calcolare l'integrale, che non è poi tanto difficile, ed il gioco è fatto (suggerimento: poni $t=\cosh y$).
P.S.: ovviamente ho solo effettuato una soluzione "simbolica" della equazione, senza pormi domande riguardo a quando e se essa risulti ben definita. Quello che dice Gugo, riguardo la globalità della soluzione, lo puoi determinare immediatamente osservando dove è definita la radice.
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