Equazione differenziale - esercizio

[monkybonky]

Ciao a tutti! Ho bisogno nuovamente del vosto aiuto. Ho un esercizio sulle equazioni differenziali che non riesco a risolvere. potreste aiutarmi?

Data l’equazione differenziale y'' − y = $−2e^-x$
a) si risolva l’equazione
b) si ricerchino le eventuali soluzioni y tali che y(0) = 0, limx−>∞ y(x) = 0

grazie

[monkybonky]

non riesco ad ottenere una y diversa da zero, praticamente i coefficienti c1 e c2 dell'equazione generica mi si annullano. è possibile?

[Bandit1]

ma la soluluzione particolare che scegli è $Kxe^-x$?
non sono sicuro però se prima del K ci vuole o meno il $ - $

[cavallipurosangue]

Divci bene Bandit, a me viene $y(x)=c_1e^x+(c_2+x)e^{-x}$,
ci sta che abbia sbagliato i conti perchgè l'ho fatta in fretta...

[monkybonky]

"cavallipurosangue":Divci bene Bandit, a me viene $y(x)=c_1e^x+(c_2+x)e^{-x}$,
ci sta che abbia sbagliato i conti perchgè l'ho fatta in fretta...

ciao. si, questo risultato è lo stesso che ho io, ma il problema è quando vado a sostuire i valori. esce c1 = - c2, quindi si annullano. è possibile?

[cavallipurosangue]

Si $c_1=c_2$, ma perchè si annullano?

[monkybonky]

"cavallipurosangue":Si $c_1=c_2$, ma perchè si annullano?

y(0)=0

sostituisco i valori ed ho

$0=c_1+c_2$,

cioè $c_1=-c_2$

Ora faccio $ limx−>∞ (-c_2e^x+ c_2e^{-x} +xe^{-x})$
dal quale risulta $c_2=0$

quindi è zero anche c1

dove sbaglio?

[cavallipurosangue]

Ok non avevo capito che avevi già fatto il limite...
Beh quella è la soluzione del problema di Cauchy.