Equazione differenziale e soluzioni costanti
salve a tutti avrei un esercizio che non ho capito bene...
ho la seguente equazione differenziale
$y''-y=min (1,t)$
devo determinare se esistono soluzioni costanti su tutto $RR$ e poi su tutto $RR^-$
io ho risolto normalmente l'equazione facendo i due casi ( $1<=t$ e $1>t$ ) ma non ho ben capito cosa si intende per soluzioni costanti e nel caso come si trovano?
grazie a tutti per l'aiuto
ho la seguente equazione differenziale
$y''-y=min (1,t)$
devo determinare se esistono soluzioni costanti su tutto $RR$ e poi su tutto $RR^-$
io ho risolto normalmente l'equazione facendo i due casi ( $1<=t$ e $1>t$ ) ma non ho ben capito cosa si intende per soluzioni costanti e nel caso come si trovano?
grazie a tutti per l'aiuto
Risposte
Una soluzione costante è del tipo: $y=c,\ c\in RR$. Secondo te, supponendo che ce ne siano, quale valore può assumere la $c$?
se ho ben capito devo imporre che la soluzione sia uguale a una costante?
per esempio: risolvendo ho che $y(t)=c_1*e^t+c_2*e^(-t)-1$ per $1<=t$ e $y(t)=c_1*e^t+c_2*e^(-t)-t$ per $1>t$ (correggimi se ho sbagliato) e devo imporre quindi che $y(t)=c_1*e^t+c_2*e^(-t)-1=c$?
per esempio: risolvendo ho che $y(t)=c_1*e^t+c_2*e^(-t)-1$ per $1<=t$ e $y(t)=c_1*e^t+c_2*e^(-t)-t$ per $1>t$ (correggimi se ho sbagliato) e devo imporre quindi che $y(t)=c_1*e^t+c_2*e^(-t)-1=c$?
No, intendo proprio: supponi di avere $y=c$ come soluzione accettabile. Questo implica che se la sostituisci nell'equazione, venga una identità. Ora, in quale caso, se possibile, tale identità è verificata?
continua a non capire scusami
Se $y=c$ allora $y''=0$ e quindi $-c=\min(1,t)$. E' possibile una cosa del genere?
se $y=c$ ho che $y''=min(1,t) -c$
con $1<=t$ ho $y(t)=(1-c)t^2/2+x_1t+x_2$ ($x_1$ e $x_2$ sono le costanti da trovare con le condizioni iniziali)se deve essere $y''=0$ devo imporre $x_1=x_2=0$ e $c=1$
sempre se ho capito bene
con $1<=t$ ho $y(t)=(1-c)t^2/2+x_1t+x_2$ ($x_1$ e $x_2$ sono le costanti da trovare con le condizioni iniziali)se deve essere $y''=0$ devo imporre $x_1=x_2=0$ e $c=1$
sempre se ho capito bene
Ma anche no... Non c'è nulla da imporre.
Ricorda che una funzione costante \(y^*(x)=c\) è una soluzione di una EDO lineare:
\[
a_n(t)\ y^{(n)}(t) + a_{n-1}(t)\ y^{(n-1)}(t) +\cdots +a_2(t)\ y^{\prime \prime}(t) +a_1(t)\ y^\prime (t) + a_0(t)\ y(t) =f(t)
\]
solo se risulta:
\[
c\ a_0(t) =f(t)
\]
per ogni \(t\) nell'insieme di definizione dei coefficienti della EDO (infatti tutte le derivate di ordine \(\geq 1\) della funzione costante \(y^*\) sono nulle, quindi quando sostituisci \(y^*(t)\) nella EDO ti rimane solamente la derivata d'ordine \(0\), i.e. la funzione stessa).
Nel tuo caso, supposto per assurdo che \(y^*(t)=c\) sia una soluzione della EDO, risulta:
\[
c = \min \{1,t\}
\]
per ogni \(t\in \mathbb{R}\), i.e. la funzione \( f(t) = \min \{1,t\}\) è costante in tutto \(\mathbb{R}\) (ed identicamente uguale a \(c\))... Ma ciò è assurdo, perché \(f\) non è affatto costante!
Quindi...
Ricorda che una funzione costante \(y^*(x)=c\) è una soluzione di una EDO lineare:
\[
a_n(t)\ y^{(n)}(t) + a_{n-1}(t)\ y^{(n-1)}(t) +\cdots +a_2(t)\ y^{\prime \prime}(t) +a_1(t)\ y^\prime (t) + a_0(t)\ y(t) =f(t)
\]
solo se risulta:
\[
c\ a_0(t) =f(t)
\]
per ogni \(t\) nell'insieme di definizione dei coefficienti della EDO (infatti tutte le derivate di ordine \(\geq 1\) della funzione costante \(y^*\) sono nulle, quindi quando sostituisci \(y^*(t)\) nella EDO ti rimane solamente la derivata d'ordine \(0\), i.e. la funzione stessa).
Nel tuo caso, supposto per assurdo che \(y^*(t)=c\) sia una soluzione della EDO, risulta:
\[
c = \min \{1,t\}
\]
per ogni \(t\in \mathbb{R}\), i.e. la funzione \( f(t) = \min \{1,t\}\) è costante in tutto \(\mathbb{R}\) (ed identicamente uguale a \(c\))... Ma ciò è assurdo, perché \(f\) non è affatto costante!
Quindi...
se ho ben capito quindi per $RR^-$ non ci sono soluzioni costanti invece per $RR$ la soluzione costante sarebbe c=1
solo che quando dici:
non mi torna, perchè per $1<=t$ $f$ è costante sempre uguale al valore 1 giusto?
solo che quando dici:
"gugo82":
Ma ciò è assurdo, perché \( f \) non è affatto costante!
non mi torna, perchè per $1<=t$ $f$ è costante sempre uguale al valore 1 giusto?
Dato che le EDO lineari sono dotate di soluzioni definite "in grande", cioé definite su tutto l'insieme di definizione dei coefficienti quando tale insieme di definizione è un intervallo (vedi un qualsiasi libro di teoria a riguardo), quando si parla di "soluzione di una EDO lineare" si parla convenzionalmente di una soluzione definita su tutto l'intervallo di definizione dei coefficienti.
Quindi, quando chiedi se la EDO \(y^{\prime \prime}(t) - y(t) = \min \{1,t\}\) ha soluzioni costanti, senza specificare altro, stai chiedendo se la EDO ha soluzioni costanti definite su tutto \(\mathbb{R}\) (che è l'insieme di definizione dei coefficienti).
Per quello che ho detto sopra, soluzioni costanti di questo tipo non possono esistere.
Quindi la risposta alla prima domanda, cioé se esistono soluzioni costanti definite in tutto \(\mathbb{R}\), è negativa.
Altra questione è chiedere se una EDO lineare ha soluzioni localmente costanti, cioé costanti solamente in un sottointervallo \(I\) contenuto nell'insieme di definizione dei coefficienti, ma possibilmente non costanti dappertutto.
In quest'ottica, le incognite da determinare sono due: 1 il valore costante \(c\) assunto localmente dalla possibile soluzione localmente costante \(y(t)\) e 2 l'intervallo massimale \(I\) in cui tale \(y(t)\) assume il valore \(c\).
Supponiamo allora che \(y(t)\) sia identicamente uguale a \(c\) in \(I\); in tal caso dovremmo trovare:
\[
c = \min \{ 1,t\}
\]
per ogni \(t\in I\).
Un'uguaglianza del genere è possibile solamente se \(c=1\) ed \(I=[1,\infty[\), quindi puoi concludere (via il teorema di esistenza ed unicità) che c'è un'unica una soluzione localmente costante, ed è quella che assume valore \(1\) nell'intervallo \([1,\infty[\).
Da ciò segue che la soluzione localmente costante si guarda bene dall'essere costante in \(\mathbb{R}^-=]-\infty ,0[\), quindi anche la risposta al secondo quesito, cioé se esistono soluzioni costanti in \(\mathbb{R}^-\), è negativa.
Quindi, quando chiedi se la EDO \(y^{\prime \prime}(t) - y(t) = \min \{1,t\}\) ha soluzioni costanti, senza specificare altro, stai chiedendo se la EDO ha soluzioni costanti definite su tutto \(\mathbb{R}\) (che è l'insieme di definizione dei coefficienti).
Per quello che ho detto sopra, soluzioni costanti di questo tipo non possono esistere.
Quindi la risposta alla prima domanda, cioé se esistono soluzioni costanti definite in tutto \(\mathbb{R}\), è negativa.
Altra questione è chiedere se una EDO lineare ha soluzioni localmente costanti, cioé costanti solamente in un sottointervallo \(I\) contenuto nell'insieme di definizione dei coefficienti, ma possibilmente non costanti dappertutto.
In quest'ottica, le incognite da determinare sono due: 1 il valore costante \(c\) assunto localmente dalla possibile soluzione localmente costante \(y(t)\) e 2 l'intervallo massimale \(I\) in cui tale \(y(t)\) assume il valore \(c\).
Supponiamo allora che \(y(t)\) sia identicamente uguale a \(c\) in \(I\); in tal caso dovremmo trovare:
\[
c = \min \{ 1,t\}
\]
per ogni \(t\in I\).
Un'uguaglianza del genere è possibile solamente se \(c=1\) ed \(I=[1,\infty[\), quindi puoi concludere (via il teorema di esistenza ed unicità) che c'è un'unica una soluzione localmente costante, ed è quella che assume valore \(1\) nell'intervallo \([1,\infty[\).
Da ciò segue che la soluzione localmente costante si guarda bene dall'essere costante in \(\mathbb{R}^-=]-\infty ,0[\), quindi anche la risposta al secondo quesito, cioé se esistono soluzioni costanti in \(\mathbb{R}^-\), è negativa.
Un altro metodo per risolvere il problema consiste nel risolvere esplicitamente la EDO e nel constatare che non possono esistere soluzioni costanti del tipo richiesto.
Ovviamente, per fare ciò occorre fare dei discorsi un po' più articolati del solito, perché il termine noto della EDO è in una forma un po' bruttina.
Determiniamo quindi le soluzioni della EDO:
\[
y^{\prime \prime}(t) - y(t) = \min \{1,t\}\; .
\]
Innanzitutto, è meglio chiarirsi le proprietà strutturali delle soluzioni.
Dato che la EDO è lineare ed ha coefficienti definiti e continui in tutto \(\mathbb{R}\), per noti fatti di teoria (i.e., per il teorema di esistenza ed unicità "in grande") le soluzioni massimali sono definite in tutto \(\mathbb{R}\).
Inoltre, dato che per ogni soluzione massimale si ha \(y^{\prime \prime}(t)=\min \{1,t\} + y(t)\), con le due funzioni a secondo membro continue, ogni soluzione massimale è certamente di classe \(C^2(\mathbb{R})\) (e di classe \(C^\infty (\mathbb{R}\setminus \{1\})\)).
Detto ciò, spezziamo la EDO in due equazioni, una definita in \(I=]1,\infty[\) e l'altra definita in \(J=]-\infty ,1[\), ed andiamo a risolverle separatamente.
La prima EDO è:
\[
y^{\prime \prime}(t) - y(t) = 1\qquad ,\ t\in ]1,\infty[
\]
ed ha integrale generale del tipo:
\[
y_> (t)=A_1 e^t - A_2 e^{-t} - 1\qquad ,\ t\in ]1,\infty[
\]
(il pedice \(+\) denota che sto lavorando per \(t>1\)); mentre la seconda è:
\[
y^{\prime \prime}(t) - y(t) = t\qquad ,\ t\in ]-\infty ,1[\; .
\]
ed essa ha integrale generale del tipo:
\[
y_< (t)=B_1 e^t - B_2 e^{-t} - t\qquad ,\ t\in ]-\infty ,1[
\]
(il pedice \(+\) denota che sto lavorando per \(t>1\)).
Per quanto detto poco più sopra, l'integrale generale della EDO assegnata di ottiene raccordando i due integrali generali delle due EDO ausiliarie in modo che l'incollamento sia di classe \(C^2\) in tutto \(\mathbb{R}\) (la regolarità è una proprietà strutturale di ogni soluzione della EDO assegnata).
L'incollamento dei due integrali \(y_>\) ed \(y_<\) è:
\[
\begin{split}
y(t) &:= \begin{cases} y_>(t) &\text{, se } t>1\\
y_<(t) &\text{, se } t<1
\end{cases}\\
&:= \begin{cases} A_1 e^t + A_2 e^{-t} -1 &\text{, se } t>1\\
B_1 e^t + B_2 e^{-t} - t &\text{, se } t<1
\end{cases}
\end{split}
\]
e, dato che esso è già di classe \(C^2(\mathbb{R}\setminus \{1\})\), dobbiamo soltanto cercare delle buone condizioni di raccordo in \(t=1\).
Ora, affinché \(y\) sia continua in \(1\) occorre che:
\[
A_1e + A_2e^{-1} - 1 = \lim_{t\to 1^+} y(t) =\lim_{t\to 1^-} y(t) = B_1e+B_2e^{-1} - 1\; ,
\]
ossia che:
\[
\tag{1}
e^2\ A_1 + A_2 = e^2\ B_1 + B_2 \; .
\]
Analogamente, affinché \(y\) risulti di classe \(C^1\) intorno a \(t=1\) c'è bisogno che:
\[
A_1e - A_2e^{-1} = \lim_{t\to 1^+} y^\prime (t) = \lim_{t\to 1^-} y^\prime (t) = B_1e-B_2e^{-1} -1\; ,
\]
cioé che:
\[
\tag{2}
e^2\ A_1 - A_2 = e^2\ B_1 - B_2 -e\; ;
\]
altre condizioni da imporre non ce ne sono, perché, dal ragionamento effettuato all'inizio, dalla continuità di \(y\) in \(t=1\) segue che anche \(y^{\prime \prime}\) è continua in \(t=1\) (perché \(y^{\prime \prime} (t) = \min \{1+t\} + y(t)\) con \(\min \{1+t\}\) continua in \(1\) ed \(y(t)\) continua in \(1\)).
Ne viene che le quattro costanti arbitrarie \(A_1,A_2,B_1,B_2\) che figurano nell'integrale generale \(y\) non sono davvero arbitrarie[nota]E ciò non sorprende, perché è noto dalla teoria che le soluzioni di una EDO lineare dipendono da tante costanti arbitrarie quanto è l'ordine della EDO; dato che la nostra EDO è di ordine \(2\), ci sono due costanti arbitrarie di troppo nell'espressione di \(y\)![/nota]: infatti, affinché tali costanti individuino una soluzione del problema originario, esse devono necessariamente essere legate dalle relazioni (1) e (2), cioé devono soddisfare il sistema:
\[
\tag{3}
\begin{cases}
e^2\ A_1 + A_2 = e^2\ B_1 + B_2 \\
e^2\ A_1 - A_2 = e^2\ B_1 - B_2 -e\; ,
\end{cases}
\]
e tali relazioni consentono di ricavare, ad esempio, le \(A_1, A_2\) in funzione delle \(B_1,B_2\) (poiché le (3) è un sistema lineare di Cramer).
Risolvendo (3) si trova:
\[
\begin{cases}
A_1 = B_1 - \frac{1}{2e}\\
A_2 = B_2 + \frac{e}{2}
\end{cases}
\]
cosicché l'integrale generale della EDO assegnata è:
\[
\begin{split}
y(t) &= \begin{cases} (B_1 - \frac{1}{2e}) e^t + (B_2 + \frac{e}{2}) e^{-t} -1 &\text{, se } t\geq 1\\
B_1 e^t + B_2 e^{-t} - t &\text{, se } t\leq 1
\end{cases}\\
&= B_1 e^t + B_2 e^{-t} + \begin{cases} - \frac{1}{2e}\ e^t + \frac{e}{2}\ e^{-t} -1 &\text{, se } t\geq 1\\
- t &\text{, se } t\leq 1\; .
\end{cases}
\end{split}
\]
Da ciò segue che non possono esistere soluzioni costanti in \(\mathbb{R}\), né tantomeno in \(\mathbb{R}^-\): invero, per \(t\in ]-\infty ,1[\) comunque si vogliano scegliere le due costanti arbitrarie \(B_1,B_2\), la soluzione \(y=y(\cdot;B_1,B_2)\) corrispondente a tale scelta non può in alcun modo essere costante; e dato che \(]-\infty ,1[\cap \mathbb{R}^-\neq \varnothing\), ciò significa che \(y\) non può essere costante in \(\mathbb{R}^-\) né, a fortiori, può esserlo in \(\mathbb{R}\).
Ovviamente, per fare ciò occorre fare dei discorsi un po' più articolati del solito, perché il termine noto della EDO è in una forma un po' bruttina.
Determiniamo quindi le soluzioni della EDO:
\[
y^{\prime \prime}(t) - y(t) = \min \{1,t\}\; .
\]
Innanzitutto, è meglio chiarirsi le proprietà strutturali delle soluzioni.
Dato che la EDO è lineare ed ha coefficienti definiti e continui in tutto \(\mathbb{R}\), per noti fatti di teoria (i.e., per il teorema di esistenza ed unicità "in grande") le soluzioni massimali sono definite in tutto \(\mathbb{R}\).
Inoltre, dato che per ogni soluzione massimale si ha \(y^{\prime \prime}(t)=\min \{1,t\} + y(t)\), con le due funzioni a secondo membro continue, ogni soluzione massimale è certamente di classe \(C^2(\mathbb{R})\) (e di classe \(C^\infty (\mathbb{R}\setminus \{1\})\)).
Detto ciò, spezziamo la EDO in due equazioni, una definita in \(I=]1,\infty[\) e l'altra definita in \(J=]-\infty ,1[\), ed andiamo a risolverle separatamente.
La prima EDO è:
\[
y^{\prime \prime}(t) - y(t) = 1\qquad ,\ t\in ]1,\infty[
\]
ed ha integrale generale del tipo:
\[
y_> (t)=A_1 e^t - A_2 e^{-t} - 1\qquad ,\ t\in ]1,\infty[
\]
(il pedice \(+\) denota che sto lavorando per \(t>1\)); mentre la seconda è:
\[
y^{\prime \prime}(t) - y(t) = t\qquad ,\ t\in ]-\infty ,1[\; .
\]
ed essa ha integrale generale del tipo:
\[
y_< (t)=B_1 e^t - B_2 e^{-t} - t\qquad ,\ t\in ]-\infty ,1[
\]
(il pedice \(+\) denota che sto lavorando per \(t>1\)).
Per quanto detto poco più sopra, l'integrale generale della EDO assegnata di ottiene raccordando i due integrali generali delle due EDO ausiliarie in modo che l'incollamento sia di classe \(C^2\) in tutto \(\mathbb{R}\) (la regolarità è una proprietà strutturale di ogni soluzione della EDO assegnata).
L'incollamento dei due integrali \(y_>\) ed \(y_<\) è:
\[
\begin{split}
y(t) &:= \begin{cases} y_>(t) &\text{, se } t>1\\
y_<(t) &\text{, se } t<1
\end{cases}\\
&:= \begin{cases} A_1 e^t + A_2 e^{-t} -1 &\text{, se } t>1\\
B_1 e^t + B_2 e^{-t} - t &\text{, se } t<1
\end{cases}
\end{split}
\]
e, dato che esso è già di classe \(C^2(\mathbb{R}\setminus \{1\})\), dobbiamo soltanto cercare delle buone condizioni di raccordo in \(t=1\).
Ora, affinché \(y\) sia continua in \(1\) occorre che:
\[
A_1e + A_2e^{-1} - 1 = \lim_{t\to 1^+} y(t) =\lim_{t\to 1^-} y(t) = B_1e+B_2e^{-1} - 1\; ,
\]
ossia che:
\[
\tag{1}
e^2\ A_1 + A_2 = e^2\ B_1 + B_2 \; .
\]
Analogamente, affinché \(y\) risulti di classe \(C^1\) intorno a \(t=1\) c'è bisogno che:
\[
A_1e - A_2e^{-1} = \lim_{t\to 1^+} y^\prime (t) = \lim_{t\to 1^-} y^\prime (t) = B_1e-B_2e^{-1} -1\; ,
\]
cioé che:
\[
\tag{2}
e^2\ A_1 - A_2 = e^2\ B_1 - B_2 -e\; ;
\]
altre condizioni da imporre non ce ne sono, perché, dal ragionamento effettuato all'inizio, dalla continuità di \(y\) in \(t=1\) segue che anche \(y^{\prime \prime}\) è continua in \(t=1\) (perché \(y^{\prime \prime} (t) = \min \{1+t\} + y(t)\) con \(\min \{1+t\}\) continua in \(1\) ed \(y(t)\) continua in \(1\)).
Ne viene che le quattro costanti arbitrarie \(A_1,A_2,B_1,B_2\) che figurano nell'integrale generale \(y\) non sono davvero arbitrarie[nota]E ciò non sorprende, perché è noto dalla teoria che le soluzioni di una EDO lineare dipendono da tante costanti arbitrarie quanto è l'ordine della EDO; dato che la nostra EDO è di ordine \(2\), ci sono due costanti arbitrarie di troppo nell'espressione di \(y\)![/nota]: infatti, affinché tali costanti individuino una soluzione del problema originario, esse devono necessariamente essere legate dalle relazioni (1) e (2), cioé devono soddisfare il sistema:
\[
\tag{3}
\begin{cases}
e^2\ A_1 + A_2 = e^2\ B_1 + B_2 \\
e^2\ A_1 - A_2 = e^2\ B_1 - B_2 -e\; ,
\end{cases}
\]
e tali relazioni consentono di ricavare, ad esempio, le \(A_1, A_2\) in funzione delle \(B_1,B_2\) (poiché le (3) è un sistema lineare di Cramer).
Risolvendo (3) si trova:
\[
\begin{cases}
A_1 = B_1 - \frac{1}{2e}\\
A_2 = B_2 + \frac{e}{2}
\end{cases}
\]
cosicché l'integrale generale della EDO assegnata è:
\[
\begin{split}
y(t) &= \begin{cases} (B_1 - \frac{1}{2e}) e^t + (B_2 + \frac{e}{2}) e^{-t} -1 &\text{, se } t\geq 1\\
B_1 e^t + B_2 e^{-t} - t &\text{, se } t\leq 1
\end{cases}\\
&= B_1 e^t + B_2 e^{-t} + \begin{cases} - \frac{1}{2e}\ e^t + \frac{e}{2}\ e^{-t} -1 &\text{, se } t\geq 1\\
- t &\text{, se } t\leq 1\; .
\end{cases}
\end{split}
\]
Da ciò segue che non possono esistere soluzioni costanti in \(\mathbb{R}\), né tantomeno in \(\mathbb{R}^-\): invero, per \(t\in ]-\infty ,1[\) comunque si vogliano scegliere le due costanti arbitrarie \(B_1,B_2\), la soluzione \(y=y(\cdot;B_1,B_2)\) corrispondente a tale scelta non può in alcun modo essere costante; e dato che \(]-\infty ,1[\cap \mathbb{R}^-\neq \varnothing\), ciò significa che \(y\) non può essere costante in \(\mathbb{R}^-\) né, a fortiori, può esserlo in \(\mathbb{R}\).
grazie mille 
non capivo dove fosse la nuova risposta grazie per la risposta completa
non capivo dove fosse la nuova risposta grazie per la risposta completa
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