Equazione differenziale e non solo

[giuseppaR1]

Salve, sto lavorando su alcune equazioni e non riesco a spiegami alcuni passaggi. Dunque, ho questa equazione :$(del)/(delx)$($h^3(delp)/(delx)$)$=-12aV$ e questo dato: $h(x)=h_0+frac{x^2}{2R}$. La soluzione è la seguente: $p(x)=-6Rafrac{V}{h(x)^2}$. Non mi è chiaro come ci si arriva. Ringrazio anticipatamente!

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi Superiore.[/xdom]

[pilloeffe]

Ciao giuseppaR,

Benvenuta sul forum!

Mah, magari ho commesso un errore di segno, ma ottengo il risultato che scrivi cambiato di segno...
Integrando ed omettendo le costanti arbitrarie si ha:

$(del)/(delx)(h^3(delp)/(delx)) = - 12 a V $

$ h^3 (delp)/(delx) = - 12 a V x$

$ (delp)/(delx) = - frac{12 a V x}{h^3} = - frac{12 a V x}{(h_0 + x^2/{2R})^3} = - frac{96 a R^3 V x}{(x^2 + 2h_0 R)^3} $

Integrando ancora si ha:

$p(x) = - 96 a R^3 V int frac{x dx}{(x^2 + 2h_0 R)^3} $

Ora quest'ultimo integrale è solo apparentemente complicatissimo, ma invece non lo è perché dopo qualche semplice elaborazione lo si può far diventare del tipo $int [f(x)]^n f'(x) dx = frac{[f(x)]^{n + 1}}{n + 1} + c $ ove nel tuo caso $f(x) := x^2 + 2h_0 R $ e $n = - 3$ per cui, sempre omettendo la costante di integrazione arbitraria, si ha:

$p(x) = - 96 a R^3 V int frac{x dx}{(x^2 + 2h_0 R)^3} = - 48 a R^3 V int frac{2x dx}{(x^2 + 2h_0 R)^3} = - 48 a R^3 V (x^2 + 2h_0 R)^{-2} /{- 2} = $
$ = 24 a R^3 V (frac{1}{x^2 + 2h_0 R})^2 = 24 a R^3 V [frac{1}{2R(h_0 + x^2/{2R})}]^2 = 24 a R^3 V (frac{1}{2Rh(x)})^2 = $
$ = 6 R a frac{V}{h^2(x)} $

[giuseppaR1]

Grazie mille, era proprio quello che cercavo;
approfitto della tua gentilezza per quest'ultimo integrale $\ \int_ \ \(a+ x^2)^(-2)text{d} x$.
Grazie Grazie

[pilloeffe]

"giuseppaR":Grazie Grazie

Prego!

"giuseppaR":approfitto della tua gentilezza per quest'ultimo integrale $int (a+x^2)^{-2}dx $

E va bene, proprio perché sei tu...
Proviamo a vedere se riusciamo a risolverlo brevemente, supponendo $a > 0 $.
Si ha:

$int (a+x^2)^{-2}dx = int frac{dx}{(a+x^2)^2} = frac{1}{a^2} int frac{dx}{[1 + (x/sqrt{a})^2]^2} $

Posto $ x/sqrt{a} := tan t \implies x = sqrt{a} tan t \implies dx = sqrt{a}(1 + tan^2 t) dt $, si ha:

$int frac{dx}{(a+x^2)^2} = frac{1}{a^2} int frac{dx}{[1 + (x/sqrt{a})^2]^2} = frac{1}{a^{3/2}} int frac{(1 + tan^2 t) dt}{(1 + tan^2 t)^2} = frac{1}{a^{3/2}} int frac{dt}{1 + tan^2 t} = frac{1}{a^{3/2}} int cos^2 t dt $
$ = frac{1}{a^{3/2}} int cos t d(sin t) = frac{1}{2a^{3/2}} (sin t cos t + t) + c $

Ma $ t = arctan(x/sqrt{a}) \implies sin t = sin arctan(x/sqrt{a}) = sin arcsin(frac{x/sqrt{a}}{sqrt{1 + x^2/a}}) = frac{x/sqrt{a}}{sqrt{1 + x^2/a}} $ e $cos t = cos arctan(x/sqrt{a}) = cos arccos(frac{1}{sqrt{1 + x^2/a}}) = frac{1}{sqrt{1 + x^2/a}} $
Perciò $ sin t cos t = frac{x/sqrt{a}}{1 + x^2/a} $ ed in definitiva si ha:

[tex]\begin{equation}
\boxed{\int (a+x^2)^{-2}dx = \int \frac{dx}{(a+x^2)^2} = \frac{1}{2a^{3/2}}\bigg[\frac{\sqrt{a} x}{a + x^2} + \arctan \bigg(\frac{x}{\sqrt{a}}\bigg)\bigg] + c}
\end{equation}[/tex]

[giuseppaR1]

grazie infinatamente!

[giuseppaR1]

Allora, data la forte efficienza mi chiedo: nella domanda precedente, se avessi voluto fare

$\int_sqrt(a)^oof(x)dx$ con $f(x)=(x^2-a)^(-2)$. Mi vengono soluzioni immaginarie. Helppppp

[pilloeffe]

L'integrale improprio proposto

$ int_{sqrt{a}}^{+\infty} (x^2 - a)^{- 2} dx = int_{sqrt{a}}^{+\infty} frac{dx}{(x^2 - a)^2} $

non converge.