Equazione differenziale e funzione degli errori
L'equazione differenziale è la seguente: $ y'(x)=-2xy(x)+ey^2(x) $.
Apparentemente una banale bernoulliana di secondo grado.
$ (y')/(y^2)=-2xy^(-1)+e -> z'=2xz-e $
La soluzione generale è $ y0(x)=Ce^(x^2) $
Vado a calcolare la soluzione particolare come $ yp(x)=e^(A(x))B(x) $ dove $ B(x)=int(-e*e^(-x^2))=-int(e^(1-x^2)) $ ma non riesco a risolvere l'integrale. L'unica formula che ho trovato per svolgere $ e^(f(x))=e^(f(x))*f'(x) $ ma applicandola non viene il risultato. Wolfram Alpha da come risultato $ y(x)=(2e^(-x^2))/(-eroot()(pi)erf(x)+c $ . Qualcuno sa che cosa vuol dire e come ottenerlo?
Apparentemente una banale bernoulliana di secondo grado.
$ (y')/(y^2)=-2xy^(-1)+e -> z'=2xz-e $
La soluzione generale è $ y0(x)=Ce^(x^2) $
Vado a calcolare la soluzione particolare come $ yp(x)=e^(A(x))B(x) $ dove $ B(x)=int(-e*e^(-x^2))=-int(e^(1-x^2)) $ ma non riesco a risolvere l'integrale. L'unica formula che ho trovato per svolgere $ e^(f(x))=e^(f(x))*f'(x) $ ma applicandola non viene il risultato. Wolfram Alpha da come risultato $ y(x)=(2e^(-x^2))/(-eroot()(pi)erf(x)+c $ . Qualcuno sa che cosa vuol dire e come ottenerlo?
Risposte
Il tuo procedimento è corretto, solo che non è possibile risolvere l'integrale della funzione $ e^{1-x^2} $ con metodi standard di integrazione.
Infatti, concludendo il procedimento, si ottiene la soluzione dell'equazione differenziale
$$ y(x) = - \frac{1}{e^{x^2} \int e^{1-x^2} \mathrm{d}x } $$
L'integrale esiste ed è risolvibile, ma non con metodi basilari di analisi matematica (utilizzando la funzione degli errori, per l'appunto).
Infatti, concludendo il procedimento, si ottiene la soluzione dell'equazione differenziale
$$ y(x) = - \frac{1}{e^{x^2} \int e^{1-x^2} \mathrm{d}x } $$
L'integrale esiste ed è risolvibile, ma non con metodi basilari di analisi matematica (utilizzando la funzione degli errori, per l'appunto).
strano perché l'integrale è stato dato come esercizio in un esame di analisi 2.
dunque non potendo svolgerlo con gli strumenti che sono per il momento a nostra disposizione come dovrei concludere?
dunque non potendo svolgerlo con gli strumenti che sono per il momento a nostra disposizione come dovrei concludere?
Probabilmente una soluzione accettabile sarebbe quella che ho scritto, lasciando l'integrale irrisolto.
Altrimenti, potresti riscrivere la soluzione nella forma
$$ y(x)= - \frac{1}{e^{x^2 +1} \int e^{-x^2} \mathrm{d} x } = - \frac{2 e^{-\left(x^2 +1\right)} }{\sqrt{\pi} \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int e^{-x^2} \mathrm{d} x } $$
A questo punto, a patto che sia nota la forma della funzione degli errori, si può notare che
$$ \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int e^{-x^2} \mathrm{d} x = \operatorname{erf} (x) + c $$
ottenendo dunque il risultato che offriva Wolfram Alpha:
$$ y(x)= - \frac{2 e^{-\left(x^2 +1\right)} }{\sqrt{\pi} \left( \operatorname{erf}(x) + c \right) } $$
Tuttavia, mi sembra difficile che un corso di Analisi che non abbia affrontato questi argomenti chieda una risoluzione simile.
Altrimenti, potresti riscrivere la soluzione nella forma
$$ y(x)= - \frac{1}{e^{x^2 +1} \int e^{-x^2} \mathrm{d} x } = - \frac{2 e^{-\left(x^2 +1\right)} }{\sqrt{\pi} \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int e^{-x^2} \mathrm{d} x } $$
A questo punto, a patto che sia nota la forma della funzione degli errori, si può notare che
$$ \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int e^{-x^2} \mathrm{d} x = \operatorname{erf} (x) + c $$
ottenendo dunque il risultato che offriva Wolfram Alpha:
$$ y(x)= - \frac{2 e^{-\left(x^2 +1\right)} }{\sqrt{\pi} \left( \operatorname{erf}(x) + c \right) } $$
Tuttavia, mi sembra difficile che un corso di Analisi che non abbia affrontato questi argomenti chieda una risoluzione simile.
"Ahornach":
Il tuo procedimento è corretto, solo che la funzione $ e^{1-x^2} $ non è integrabile secondo Riemann.
Non è che non è integrabile secondo Riemann, è che non esiste una espressione analitica esplicita per una sua primitiva...
"Bremen000":
[quote="Ahornach"]Il tuo procedimento è corretto, solo che la funzione $ e^{1-x^2} $ non è integrabile secondo Riemann.
Non è che non è integrabile secondo Riemann, è che non esiste una espressione analitica esplicita per una sua primitiva...[/quote]
Chiedo venia, ancora ho molto da imparare
Correggo per evitare confusione.
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