Equazione differenziale dx/dt=lnx/x come risolverla?

[fishtagged]

Ciao a tutti,

sono Marco da venezia. Mi sono trovato di fronte a questa equazione differenziale

$ dx/dt=lnx/x -> x/lnx dx=dt $

e sono in difficoltà con la parte sinistra dell'equazione. Ho provato per sostituzione ponendo $ lnx=t $ , $ x=e^t $ , $ dx=e^tdt $

ottenendo quindi

$ int e^t/t e^tdt = int e^(2t)/t dt = int e^(2t)t^-1 dt $

da qui non sono più sicuro di cosa potrei fare. E' possibile continuare integrando per parti? Io ho provato e mi è risultato

$ e^(2t) (1/(2t) + t/4 - 1/8) + C $

ma il tutto non mi convince poiché non mi è mai capitato di trovare un risultato finale con $ e^log(...) $ negli esercizi dell'esame per cui sto studiando.

Sto procedendo correttamente o è tutto sbagliato?

Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto che mi darete.

Marco

[Covenant]

Dove l'hai trovata quella equazione? non credo abbia una soluzione elementare...

[gugo82]

Se proprio devo azzardare una risposta, credo che il secondo membro sia scritto male: secondo me dovrebbe essere \(x/\ln x\) e non viceversa (altrimenti, come notato da Covenant, vai a finire su una EDO senza soluzioni elementari).

[fishtagged]

è indicata così su un compito, che chiede di risolverla. Nel caso suggerito da gugo82 non avrei problemi a risolverla ma trovandola così invertita non riuscivo proprio ad andare avanti.

Esiste un modo per capire quando una ode non è risolvibile elementarmente? Non ho abbastanza confidenza in me stesso per scrivere che essa non è risolvibile, penserei di aver sbagliato sicuramente qualcosa io

Vi ringrazio per l'aiuto.

Marco