Equazione differenziale domanda
Ciao,
avrei una domanda stupida probabilmente dato che non studio fisica o matematica, però mi desta curiosità.
Se ho una equazione differenziale del tipo: $(dy)/(dx)=f(x,y)$ essa mi pare che in generale non sia risolvibile giusto? (questa era la domanda dell'esercizio).
Mi è però sorta una seconda domanda oltre a quella sopra che vi chiedevo ed è la seguente:
se scrivo $(dy)/(dx)$ vuol dire che implicitamente penso a una $y(x)$, anche perché se non lo fosse avrei $(dy)/(dx)=0$ e quindi $f(x,y)=0$, cioè in modo semplice la f sarebbe la funzione nulla.
Sia quindi $y(x)$, a questo punto ecco che i si pone davanti un dubbio: quello che ottengo è $(dy)/(dx)=f(x,y(x))$ quindi mi pare sensato che f si riduca a una sola funzione di x in fin dei conti, quindi avrei $(dy)/(dx)=f(x)$ e a questo punto senza andare a interpellare la separazione di variabili non sarebbe più semplicemente risolubile dicendo f(x) è la funzione pari a quella derivata a sx. That's it
Mi sembra troppo idiota come cosa, quindi devo capire cosa sbaglio
avrei una domanda stupida probabilmente dato che non studio fisica o matematica, però mi desta curiosità.
Se ho una equazione differenziale del tipo: $(dy)/(dx)=f(x,y)$ essa mi pare che in generale non sia risolvibile giusto? (questa era la domanda dell'esercizio).
Mi è però sorta una seconda domanda oltre a quella sopra che vi chiedevo ed è la seguente:
se scrivo $(dy)/(dx)$ vuol dire che implicitamente penso a una $y(x)$, anche perché se non lo fosse avrei $(dy)/(dx)=0$ e quindi $f(x,y)=0$, cioè in modo semplice la f sarebbe la funzione nulla.
Sia quindi $y(x)$, a questo punto ecco che i si pone davanti un dubbio: quello che ottengo è $(dy)/(dx)=f(x,y(x))$ quindi mi pare sensato che f si riduca a una sola funzione di x in fin dei conti, quindi avrei $(dy)/(dx)=f(x)$ e a questo punto senza andare a interpellare la separazione di variabili non sarebbe più semplicemente risolubile dicendo f(x) è la funzione pari a quella derivata a sx. That's it
Mi sembra troppo idiota come cosa, quindi devo capire cosa sbaglio
Risposte
WOW 
leggendo tutto d'un fiato questa spiegazione mi pare finalmente di aver trovato il giusto posto per le idee. Mi piacerebbe schematizzare una risposta e sbobinare l'esercizio svolto che avevo trovato per capire le pecche, perché solo capendo gli errori so che ragionerò giusto in futuro e soprattutto capisco di aver capito.
Mi piacerebbe tirare le seguenti "linee rosse"
sull'esercizio che ho trovato risolto online/guidato:
* risolvere come nell'esercizio qui sopra con gli integrali indefiniti non mette in risalto in primis il thm fondamentale "di cauchy" che abbiamo finora citato: non avendo punti iniziali non posso fare i ragionamenti che hai fatto.
* inoltre da questo metodo con integrale indefinito, discende che il risolutore diceva che la soluzione è: $y(t)=-3/(t^3+3k), k in RR$, ma questo è improprio perché così non sto dicendo il valore dei due intervalli \(]-\infty, \sqrt[3]{c}[\) o \(]\sqrt[3]{c} , + \infty[\) per cui di fatto è soluzione. Senza specificarli non è un bel nulla quella funzione!
* Proseguendo nella seconda parte dove dice che "dato che $y!=0$ la variabile $y$ varia nel dominio $(-oo,0)∪(0,+oo)$" (**) è in parte "vero", anche se scritto in modo improprio[nota]perché se vogliamo parlare di dominio sarebbe \(]-\infty, \sqrt[3]{c}[\) o \(]\sqrt[3]{c} , + \infty[\) altrimenti devo invocare il thm di unicità (si veda il prosieguo del discorso)[/nota], difatti quella affermazione è vera solo per via del teorema di unicità locale che ci assicura che "il grafico di ogni altra soluzione massimale non può attraversare la soluzione costante, quindi ogni soluzione massimale y(t) della EDO o è negativa ovunque o è positiva ovunque nel suo intervallo di definizione I"
* infine ove dice che l'intervallo massimale si trova, dato l'insieme di definizione ${(t,y)in RR^2: t in RR, y in (0,oo)}$, ponendo $y(t)>0 =>3/(2-t^3)>0 => t<2^(1/3)$ in un certo senso imbroglia, perché sembra far discendere l'intervallo da questa condizione vista in (**) sulla soluzione dell'integrale indefinito che citavo sopra. Ma in realtà non è così, $y(t)>0$ deriva dal teorema di unicità locale che citavo nel terzo punto di questo elenco e quindi dal calcolo che svolgevi tu:
Spero ora di trovarti d'accordo su quello che dico.
PS: inoltre, tra le altre cose, ho finalmente capito il perché si richiedono intervalli!
PPS: scusa per la rottura di scatole che sono stato
e le scemenze che ho detto in queste pagine. Spero non ti sarai strappato i capelli. Grazie mille, mi hai insegnato moltissimo!!
leggendo tutto d'un fiato questa spiegazione mi pare finalmente di aver trovato il giusto posto per le idee. Mi piacerebbe schematizzare una risposta e sbobinare l'esercizio svolto che avevo trovato per capire le pecche, perché solo capendo gli errori so che ragionerò giusto in futuro e soprattutto capisco di aver capito."ripositore":
Sia il problema di cauchy
$y'=y^2t^2$
$y(1)=3$
SOL guidata:
1)
- posto $b(y)=0$ trovo $y=0$ soluzione stazionaria
- se $y!=0$ posso integrare dopo aver separato $int 1/y^2 dy=intf^2 dt$ => $y(t)=-3/(t^3+3k), k in RR$
(ed è qui che non riuscivo a vedere il problema di cauchy, mi pareva cioè che questa soluzione fosse una funzione che ha dominio ciò che rende vero: $(t^3+3k)!=0$ senza aver chiesto nulla a cauchy, perché il dominio e i valori di y li ho già belle che pronti e gratis dalla risoluzione e non ho imposto alcuna condizione iniziale apparentemente)
2)
da qui poi vedevo partire la soluzione del problema di C.:
- $y=0$ non soddisfa la condizione iniziale e la levo dalle scatole
- ragiono su $(-oo,0)$ unito $ (0,+oo)$, siccome il pdc ha soluzioni su un intervallo devo scegliere uno dei due ed evidentemente è il secondo dato che $y(1)=3 in(0,+oo)$ (è la condizione iniziale che determina l'intervallo su cui lavorare)
fatto ciò per sostituzione della condizione mi trovo $k$ da cui $y(t)=(2-t^3)/3$ ma non è ancora la soluzione definitiva perché vale la condizione $y(t)>0$ cioè: $(2-t^3)/3>0$ da cui trovo le t di y(t) per cui è soluzione: $t<2^(1/3)$.
(oss: è anche la massimale non esistendo prolungamenti possibili, infatti ho preso tutto l'intervallo)
Mi piacerebbe tirare le seguenti "linee rosse"
sull'esercizio che ho trovato risolto online/guidato:* risolvere come nell'esercizio qui sopra con gli integrali indefiniti non mette in risalto in primis il thm fondamentale "di cauchy" che abbiamo finora citato: non avendo punti iniziali non posso fare i ragionamenti che hai fatto.
* inoltre da questo metodo con integrale indefinito, discende che il risolutore diceva che la soluzione è: $y(t)=-3/(t^3+3k), k in RR$, ma questo è improprio perché così non sto dicendo il valore dei due intervalli \(]-\infty, \sqrt[3]{c}[\) o \(]\sqrt[3]{c} , + \infty[\) per cui di fatto è soluzione. Senza specificarli non è un bel nulla quella funzione!
* Proseguendo nella seconda parte dove dice che "dato che $y!=0$ la variabile $y$ varia nel dominio $(-oo,0)∪(0,+oo)$" (**) è in parte "vero", anche se scritto in modo improprio[nota]perché se vogliamo parlare di dominio sarebbe \(]-\infty, \sqrt[3]{c}[\) o \(]\sqrt[3]{c} , + \infty[\) altrimenti devo invocare il thm di unicità (si veda il prosieguo del discorso)[/nota], difatti quella affermazione è vera solo per via del teorema di unicità locale che ci assicura che "il grafico di ogni altra soluzione massimale non può attraversare la soluzione costante, quindi ogni soluzione massimale y(t) della EDO o è negativa ovunque o è positiva ovunque nel suo intervallo di definizione I"
* infine ove dice che l'intervallo massimale si trova, dato l'insieme di definizione ${(t,y)in RR^2: t in RR, y in (0,oo)}$, ponendo $y(t)>0 =>3/(2-t^3)>0 => t<2^(1/3)$ in un certo senso imbroglia, perché sembra far discendere l'intervallo da questa condizione vista in (**) sulla soluzione dell'integrale indefinito che citavo sopra. Ma in realtà non è così, $y(t)>0$ deriva dal teorema di unicità locale che citavo nel terzo punto di questo elenco e quindi dal calcolo che svolgevi tu:
se $y_0 > 0$: in tal caso deve aversi sempre $y(t) > 0$, e ciò accade se e solo se $3 - y_0(t^3 - t_0^3) > 0$, ossia se:
\[
t^3 < t_0^3 + \frac{3}{y_0} \quad \Leftrightarrow\quad t < \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}\; ;
\]
quindi la soluzione massimale del p.d.C. è definita in \(]-\infty , \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}[\);
Spero ora di trovarti d'accordo su quello che dico.
PS: inoltre, tra le altre cose, ho finalmente capito il perché si richiedono intervalli!
PPS: scusa per la rottura di scatole che sono stato
e le scemenze che ho detto in queste pagine. Spero non ti sarai strappato i capelli. Grazie mille, mi hai insegnato moltissimo!!
Scusa, ma quale video hai visto? Hai un link?
Per il resto, cerco di risponderti appena ho tempo.
Per il resto, cerco di risponderti appena ho tempo.
Nono non era un video.
Sostanzialmente è andata così: il prof ha accennato solo alle equazioni differenziali come dicevo proponendo le tecniche risolutive e lasciando la domanda aperta di inizio di questa conversazione; non soddisfatto perché in cuor mio sentivo che qualcosa non mi era chiaro, ho aperto qui la discussione e nel frattempo mi sono scaricato vari pdf di analisi 1 di vari atenei e me li sono letti (compreso il teorema che abbiamo usato) man mano che discutevamo qui e cercando di capire il più possibile valorizzando il tuo aiuto. Cercando varie fonti, non solo teoriche ma che mi permettessero anche una visione pratica di risoluzione di un esercizio, sono capitato su questo link (da cui ho preso l'esempio): ****, perché non avendo a disposizione fonti avevo bisogno di un "esercitatore virtuale". Però data la spiegazione non approfonditissima e l'idea sbagliata che mi ero fatto sulle EDO ho dovuto reinterpretare tutta l'impalcatura che avevo capito e con le tue spiegazioni penso di esserci riuscito!
Ciò detto, grazie alle tue spiegazioni ho capito varie cose che prima non mi erano per nulla chiare con il mio studio autonomo, e capiti quei punti mi sono "permesso" di evidenziare i 4 punti che non mi convincono nella spiegazione di quel link da cui ho preso l'esercizio. Quindi, se anche il link fosse poco interessante, non lo so... però mi ha dato lo spunto per ragionare e vorrei capire gli errori.
ora, rileggendoli (quei 4 punti del mio ultimo messaggio sopra il tuo) mi sembrano ora corretti, e ci tenevo ad avere un tuo parere (a tempo perso s'intende, quando hai voglia, anche tra un mese sarò qui a leggere), perché se confermi la correttezza almeno so di aver finalmente capito bene la faccenda che al netto di tutto è quello che mi sta a cuore.
Sostanzialmente è andata così: il prof ha accennato solo alle equazioni differenziali come dicevo proponendo le tecniche risolutive e lasciando la domanda aperta di inizio di questa conversazione; non soddisfatto perché in cuor mio sentivo che qualcosa non mi era chiaro, ho aperto qui la discussione e nel frattempo mi sono scaricato vari pdf di analisi 1 di vari atenei e me li sono letti (compreso il teorema che abbiamo usato) man mano che discutevamo qui e cercando di capire il più possibile valorizzando il tuo aiuto. Cercando varie fonti, non solo teoriche ma che mi permettessero anche una visione pratica di risoluzione di un esercizio, sono capitato su questo link (da cui ho preso l'esempio): ****, perché non avendo a disposizione fonti avevo bisogno di un "esercitatore virtuale". Però data la spiegazione non approfonditissima e l'idea sbagliata che mi ero fatto sulle EDO ho dovuto reinterpretare tutta l'impalcatura che avevo capito e con le tue spiegazioni penso di esserci riuscito!
Ciò detto, grazie alle tue spiegazioni ho capito varie cose che prima non mi erano per nulla chiare con il mio studio autonomo, e capiti quei punti mi sono "permesso" di evidenziare i 4 punti che non mi convincono nella spiegazione di quel link da cui ho preso l'esercizio. Quindi, se anche il link fosse poco interessante, non lo so... però mi ha dato lo spunto per ragionare e vorrei capire gli errori.
ora, rileggendoli (quei 4 punti del mio ultimo messaggio sopra il tuo) mi sembrano ora corretti, e ci tenevo ad avere un tuo parere (a tempo perso s'intende, quando hai voglia, anche tra un mese sarò qui a leggere
), perché se confermi la correttezza almeno so di aver finalmente capito bene la faccenda che al netto di tutto è quello che mi sta a cuore.
Ma ancora a vedere 'sta roba su ****?!?
Ma siete di coccio...
Quelle robe lì possono andar bene per le scuole superiori (e nemmeno di tutti gli indirizzi), non sono adatte allo studio universitario.
Ma siete di coccio...
Quelle robe lì possono andar bene per le scuole superiori (e nemmeno di tutti gli indirizzi), non sono adatte allo studio universitario.
Ma siete di coccio...
Sinceramente è la prima volta che lo vedevo come sito
, è semplicemente uscito nella ricerca di risoluzione guidata per una edo e me lo sono letto, ora so che non devo più farlo[nota]altra cosa, tra le tante, che ho imparato grazie ai tuoi preziosi consigli sullo studio 
[/nota].Però resta il punto che, proprio perché non "preciso",mi ha aiutato a pormi dei dubbi. Nel senso, nel male mi è servito a guardare criticamente la faccenda e dire "no non ci siamo", che spero sia quello che conta nel comprendere le cose.
Per il resto, quanto dicevo nei 4 punti sopra li condividi? (cioè questi)
Mi interessava molto, sono serio
perché vorrebbe dire che se ci ho preso, ho capito.
Sì, il senso delle cose è quello.
Bravo.
Bravo.
Ti ringrazio molto per le tue delucidazioni, sono state fondamentali per riuscire a mettere assieme un po' tutto!
Non so davvero come poterti ringraziare per il tuo aiuto enorme, mi hai regalato la comprensione di un concetto e te ne sono immensamente grato!
Non so davvero come poterti ringraziare per il tuo aiuto enorme, mi hai regalato la comprensione di un concetto e te ne sono immensamente grato!
Gentilissimi voi, scusate l'intromissione ma discussioni come questa sono davvero interessanti e anche a me hanno chiarito dubbi che avevo riguardo la teoria che sto proprio or-ora affrontando.
Avrei un dubbio che classificherei in stupido, ma non ho capito bene come vanno le cose e vorrei chiedere @gugo82, ho letto da cima a fondo queste pagine e dato che dicevi:
Visto che per la EDO vale il teorema di unicità locale, il grafico di ogni altra soluzione massimale non può attraversare la soluzione costante, quindi ogni soluzione massimale $y(t)$ della EDO o è negativa ovunque o è positiva ovunque nel suo intervallo di definizione $I$.
C'è una cosa che non capisco, ossia: io so che ho come soluzione anche la funzione costante $y=0$, tuttavia come dicevi ho il teorema di unicità di soluzione locale, e sapendo da questo che vale sicuramente localmente ho qualcosa del tipo $y:[t_0-epsilon,t_0+epsilon]->{0}$. Ecco, ma io in questo modo non sto asserendo che ho due soluzioni?
Voglio dire, una soluzione $y=0$ si avrà localmente attorno a un certo $t_0$ e non solo in $t_0$ (e ho una soluzione unica nell'intervallo), quindi quando io impongo $y(t)>0 $ trovo i valori per cui vale la seconda soluzione massimale con $y in (0,+oo)$, che non copre t0 in cui y=0, ma copre una parte di quell'intorno (che per il teorema in "locale" esiste) di t0 per cui $y=0$.
E' evidente che sbaglio, però sai che non capisco dove
Avrei un dubbio che classificherei in stupido, ma non ho capito bene come vanno le cose e vorrei chiedere @gugo82, ho letto da cima a fondo queste pagine e dato che dicevi:
Visto che per la EDO vale il teorema di unicità locale, il grafico di ogni altra soluzione massimale non può attraversare la soluzione costante, quindi ogni soluzione massimale $y(t)$ della EDO o è negativa ovunque o è positiva ovunque nel suo intervallo di definizione $I$.
C'è una cosa che non capisco, ossia: io so che ho come soluzione anche la funzione costante $y=0$, tuttavia come dicevi ho il teorema di unicità di soluzione locale, e sapendo da questo che vale sicuramente localmente ho qualcosa del tipo $y:[t_0-epsilon,t_0+epsilon]->{0}$. Ecco, ma io in questo modo non sto asserendo che ho due soluzioni?
Voglio dire, una soluzione $y=0$ si avrà localmente attorno a un certo $t_0$ e non solo in $t_0$ (e ho una soluzione unica nell'intervallo), quindi quando io impongo $y(t)>0 $ trovo i valori per cui vale la seconda soluzione massimale con $y in (0,+oo)$, che non copre t0 in cui y=0, ma copre una parte di quell'intorno (che per il teorema in "locale" esiste) di t0 per cui $y=0$.
E' evidente che sbaglio, però sai che non capisco dove
Per fugare questi dubbi è fondamentale capire il ruolo giocato dal p.d.C. nella teoria e nella pratica delle EDO, cosa che negli svolgimenti "meccanici" non viene mai messo in risalto.
Nel tuo caso, la cosa è semplice: la soluzione costante $y(t) = 0$ soddisfa il p.d.C. per quella EDO con punto iniziale $(t_0,0)$ (ossia condizione iniziale $y(t_0)=0$), mentre ogni altra soluzione non costante soddisfa un p.d.C. per la stessa EDO, ma con punto iniziale $(t_0,y_0)$ (cioè condizione iniziale $y(t_0)=y_0$) con $y_0!= 0$.
Per questo il teorema di esistenza ed unicità non può essere violato: lo stai applicando a pp.dd.CC. differenti ottenendo due soluzioni locali $y(t;t_0,0)$ (costante) e $y(t;t_0,y_0)$ (non costante) differenti.
Invece, se per assurdo in un intorno di $t_0$ in cui sono definite entrambe le soluzioni locali $y(*;t_0,0)$ e $y(*;t_0,y_0)$ esistesse un punto d'intersezione per i due grafici, ossia se esistessero punti $tau$ tali che $y(tau; t_0,0) = y(tau;t_0,y_0)$, detto $t_1$ il punto più vicino a $t_0$ dove si verifica l'intersezione, entrambe le funzioni $y(*;t_0,0)$ e $y(*;t_0,y_0)$ soddisferebbero il p.d.C. relativo alla stessa EDO con lo stesso punto iniziale $(t_1, y_1)$ (ovvero condizione iniziale $y(t_1)=y_1$) con:
$y_1="ordinata del punto d'intersezione di " y(*;t_0,0) " e " y(*;t_0,y_0)$.
In tal caso, intorno a $t_1$, dovresti avere soluzione unica e ciò darebbe $y(t;t_0,0) = y(t;t_0,y_0)$ anche per valori di $t$ più vicini a $t_0$ rispetto a $t_1$.
Ma ciò è assurdo, perché $t_1$ è per definizione il punto di contatto tra i grafici di $y(*;t_0,0)$ e $y(*;t_0,y_0)$ più vicino possibile a $t_0$.
Dunque se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza ad unicità non è possibile che grafici di soluzioni della stessa EDO relative a pp.dd.CC. con diverse condizioni iniziali si intersechino.
Nel tuo caso, la cosa è semplice: la soluzione costante $y(t) = 0$ soddisfa il p.d.C. per quella EDO con punto iniziale $(t_0,0)$ (ossia condizione iniziale $y(t_0)=0$), mentre ogni altra soluzione non costante soddisfa un p.d.C. per la stessa EDO, ma con punto iniziale $(t_0,y_0)$ (cioè condizione iniziale $y(t_0)=y_0$) con $y_0!= 0$.
Per questo il teorema di esistenza ed unicità non può essere violato: lo stai applicando a pp.dd.CC. differenti ottenendo due soluzioni locali $y(t;t_0,0)$ (costante) e $y(t;t_0,y_0)$ (non costante) differenti.
Invece, se per assurdo in un intorno di $t_0$ in cui sono definite entrambe le soluzioni locali $y(*;t_0,0)$ e $y(*;t_0,y_0)$ esistesse un punto d'intersezione per i due grafici, ossia se esistessero punti $tau$ tali che $y(tau; t_0,0) = y(tau;t_0,y_0)$, detto $t_1$ il punto più vicino a $t_0$ dove si verifica l'intersezione, entrambe le funzioni $y(*;t_0,0)$ e $y(*;t_0,y_0)$ soddisferebbero il p.d.C. relativo alla stessa EDO con lo stesso punto iniziale $(t_1, y_1)$ (ovvero condizione iniziale $y(t_1)=y_1$) con:
$y_1="ordinata del punto d'intersezione di " y(*;t_0,0) " e " y(*;t_0,y_0)$.
In tal caso, intorno a $t_1$, dovresti avere soluzione unica e ciò darebbe $y(t;t_0,0) = y(t;t_0,y_0)$ anche per valori di $t$ più vicini a $t_0$ rispetto a $t_1$.
Ma ciò è assurdo, perché $t_1$ è per definizione il punto di contatto tra i grafici di $y(*;t_0,0)$ e $y(*;t_0,y_0)$ più vicino possibile a $t_0$.
Dunque se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza ad unicità non è possibile che grafici di soluzioni della stessa EDO relative a pp.dd.CC. con diverse condizioni iniziali si intersechino.
Grazie
Credo di aver capito l'errore, con unicità nell'intervallo mi figuravo che in ogni punto di quell'intervallo potesse essere coperto da una unica funzione soluzione locale. Quindi pensavo che qualunque altro secondo intervallo che intersecasse il primo non potesse avere in quel tratto di intersezione soluzione diversa non solo che intersecava la prima, ma proprio che non esistesse una seconda funzione che avesse valori diversi in generale, in poche parole pensavo ogni soluzione fosse sovrapposta alla prima.
Quindi quando dicevi che avendo y=0 (soluzione costante) non potevo avere intersezioni, ma potevo avere soluzioni tutte positive o tutte negative, non capivo il motivo.
Ma il punto non è questo, il punto è che sostanzialmente posso avere intersezioni di intervalli con anche due soluzioni locali diverse, solo che non possono intersecarsi tali due funzioni soluzioni per via del teorema, altrimenti avrei quell'assurdo che hai mostrato.
Per riassumere:
- se una seconda soluzione interseca il grafica della prima => in realtà coincide con la prima in quel tratto.
- può esistere una seconda funzione soluzione (cioè con valori di ordinata diversa dalla prima) ma questa non intersecherà mai la prima per il punto sopra.
Penso ora di aver capito l'errore che facevo. grazie!
Una domanda bonus. Ma dato che y=0 vale per ogni t in R, posso definirla massimale, è corretta come terminologia?
Credo di aver capito l'errore, con unicità nell'intervallo mi figuravo che in ogni punto di quell'intervallo potesse essere coperto da una unica funzione soluzione locale. Quindi pensavo che qualunque altro secondo intervallo che intersecasse il primo non potesse avere in quel tratto di intersezione soluzione diversa non solo che intersecava la prima, ma proprio che non esistesse una seconda funzione che avesse valori diversi in generale, in poche parole pensavo ogni soluzione fosse sovrapposta alla prima.
Quindi quando dicevi che avendo y=0 (soluzione costante) non potevo avere intersezioni, ma potevo avere soluzioni tutte positive o tutte negative, non capivo il motivo.
Ma il punto non è questo, il punto è che sostanzialmente posso avere intersezioni di intervalli con anche due soluzioni locali diverse, solo che non possono intersecarsi tali due funzioni soluzioni per via del teorema, altrimenti avrei quell'assurdo che hai mostrato.
Per riassumere:
- se una seconda soluzione interseca il grafica della prima => in realtà coincide con la prima in quel tratto.
- può esistere una seconda funzione soluzione (cioè con valori di ordinata diversa dalla prima) ma questa non intersecherà mai la prima per il punto sopra.
Penso ora di aver capito l'errore che facevo. grazie!
Una domanda bonus. Ma dato che y=0 vale per ogni t in R, posso definirla massimale, è corretta come terminologia?
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