Equazione differenziale di terzo ordine

[ci3ttin4_97]

Ciao a tutti.
Non riesco a risolvere un'equazione differenziale di terzo ordine.
L'esercizio è il seguente:

Determinare l'integrale generale dell'eq.differenziale:
y'''+y=sin(x)+cos(x).

Per la seconda parte so che bisogna utilizzare il metodo di somiglianza ma per la prima non riesco a capire come trovare le soluzioni.. Potete aiutarmi?

[Rigel1]

Per iniziare, scrivi l'equazione caratteristica, che è \(\lambda^3+1 = 0\), e determini i valori (complessi) di \(\lambda\) che la soddisfano.
Può essere utile ricordarsi che
\[
\lambda^3+1 = (\lambda + 1)(\lambda^2 - \lambda + 1).
\]

[ci3ttin4_97]

"Rigel":Per iniziare, scrivi l'equazione caratteristica, che è \(\lambda^3+1 = 0\), e determini i valori (complessi) di \(\lambda\) che la soddisfano.
Può essere utile ricordarsi che
\[
\lambda^3+1 = (\lambda + 1)(\lambda^2 - \lambda + 1).
\]

y(x)= c1 e^(-x) + c2 e^$(1/2x)$cos $((sqrt3)/2)x $ + c3 e^$(1/2x)$sin $((sqrt3)/2)x $

Mi dici se è corretto?

[Rigel1]

Sì, la soluzione dell'equazione omogenea associata sembra corretta.

[pilloeffe]

Ciao luciad,

$y'''+y=sin(x)+cos(x)$

è un'equazione differenziale lineare del terzo ordine. Per quanto riguarda l'equazione omogenea associata e la relativa equazione caratteristica è già stato detto tutto, per cui non mi dilungo. Faccio solamente notare che è molto semplice determinare la soluzione particolare, anche senza usare il metodo di somiglianza, basta guardarla e si vede subito che $y_p(x) = cos(x)$. In definitiva si ha:

$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 e^{-x} + c_2 e^{x/2}cos(frac{sqrt{3}x}{2}) + c_3 e^{x/2}sin(frac{sqrt{3}x}{2}) + cos(x) $

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]