Equazione differenziale di Eulero
buonasera a tutti quanti... scusatemi nuovo ma avrei bisogno di un piccolo chiarimento riguardo le equazioni differenziali di Eulero... Prendiamone una omogenea
$x^3y'''-6x^2y''+15xy'-15y=0$ ( le derivate sono $(dy)/(dx)$ )
Ovviamente è a coefficienti non costanti e l'esponente del coefficiente di ciascun termine è pari all'ordine della derivata del termine stesso (caratteristica delle equazioni di Eulero): il coeff di $y'''$ è $x^3$ e così via. E fin qua no problem. So anche che per trasformarla in un'e.d. a coeff. costanti bisogna operare un cambiamento di varibiabile indipendente: più precisamente leggo sul mio libro
$ x= e^t $ se $x > 0$
$ x= -e^t $ se $x < 0$
$ x= 0 $ è punto singolare dell'equazione di Eulero
Ora, scusatemi ma innanzitutto cosa vuol dire punto singolare di un'e.d.? Io so che cos'è un integrale singolare... ma ancora: l'eq. che vi ho proposto è tratta dal seguente esercizio:
"Determinare l'i.g. di
$x^3y'''-6x^2y''+15xy'-15y=0$
operando il cambiamento di variabile $ x= e^t $ e verificando che l'eq. data diviene
$(d^3y)/(dt^3)-9(d^2y)/(dt^2)+23(dy)/(dt)-15y=0$ "
Come faccio a sostituire? il fattore dx cambia, dal momento che cambio variabile?? potete aiutarmi per favore? vi ringrazio in anticipo e mi scuso per il disturbo.
Grazie ancora.
Pol
$x^3y'''-6x^2y''+15xy'-15y=0$ ( le derivate sono $(dy)/(dx)$ )
Ovviamente è a coefficienti non costanti e l'esponente del coefficiente di ciascun termine è pari all'ordine della derivata del termine stesso (caratteristica delle equazioni di Eulero): il coeff di $y'''$ è $x^3$ e così via. E fin qua no problem. So anche che per trasformarla in un'e.d. a coeff. costanti bisogna operare un cambiamento di varibiabile indipendente: più precisamente leggo sul mio libro
$ x= e^t $ se $x > 0$
$ x= -e^t $ se $x < 0$
$ x= 0 $ è punto singolare dell'equazione di Eulero
Ora, scusatemi ma innanzitutto cosa vuol dire punto singolare di un'e.d.? Io so che cos'è un integrale singolare... ma ancora: l'eq. che vi ho proposto è tratta dal seguente esercizio:
"Determinare l'i.g. di
$x^3y'''-6x^2y''+15xy'-15y=0$
operando il cambiamento di variabile $ x= e^t $ e verificando che l'eq. data diviene
$(d^3y)/(dt^3)-9(d^2y)/(dt^2)+23(dy)/(dt)-15y=0$ "
Come faccio a sostituire? il fattore dx cambia, dal momento che cambio variabile?? potete aiutarmi per favore? vi ringrazio in anticipo e mi scuso per il disturbo.
Grazie ancora.
Pol
Risposte
un punto singolare di una eq differenziale è un punto in cui si annulla il coefficiente della derivata di ordine massimo.
Ovviamente qualcosa cambia nel cambio di variabile: il $dx$ diventa $dt$ e ovviamente ci diventa nella maniera opportuna ... è il solito cambio di variabile che si fa ad esempio negli integrali... prova a vedere e ti accorgerai che è proprio una cosa scema.
Ovviamente qualcosa cambia nel cambio di variabile: il $dx$ diventa $dt$ e ovviamente ci diventa nella maniera opportuna ... è il solito cambio di variabile che si fa ad esempio negli integrali... prova a vedere e ti accorgerai che è proprio una cosa scema.
Supponiamo che sia x>0 ,allora la sostituzione possibile e' $x=e^t$
Da qui si ricava che:
$t=lnx,(dt)/(dx)=1/x=e^(-t)$
Pertanto si ha:
$(dy)/(dx)=(dy)/(dt)*(dt)/(dx)$
E cioe':
(a) $(dy)/(dx)=e^(-t)*[(dy)/(dt)]$
E quindi :
(1) $(dy)/(dx)=1/x*[(dy)/(dt)]$
Derivando la (a) ancora rispetto ad x risulta:
$(d^2y)/(dx^2)=d/(dt)((dy)/(dx))(dt)/(dx)=d/(dt)[e^(-t)*(dy)/(dt)]*e^(-t)$
Ovvero:
(b) $(d^2y)/(dx^2)=[-e^(-t)*(dy)/(dt)+e^(-t)*(d^2y)/(dt^2)]*e^(-t)=e^(-2t)*[(d^2y)/(dt^2)-(dy)/(dt)]$
E quindi :
(2) $(d^2y)/(dx^2)=1/(x^2)*[(d^2y)/(dt^2)-(dy)/(dt)]$
Derivando la (b), sempre rispetto ad x,si ottiene:
$(d^3y)/(dx^3)=d/(dt)[e^(-2t)*((d^2y)/(dt^2)-(dy)/(dt))]*(dt)/(dx)$
Da cui:
$(d^3y)/(dx^3)=[-2e^(-2t)*((d^2y)/(dt^2)-(dy)/(dt))+e^(-2t)*((d^3y)/(dt^3)-(d^2y)/(dt^2))]*e^(-t)=e^(-3t)*[(d^3y)/(dt^3)-3*(d^2y)/(dt^2)+2*(dy)/(dt)]$
Ovvero:
(3)$(d^3y)/(dx^3)=1/(x^3)*[(d^3y)/(dt^3)-3*(d^2y)/(dt^2)+2*(dy)/(dt)]$
Sostituendo (1),(2) e (3) nell'equazione originaria si ottiene l'equazione a coefficienti costanti che hai indicato.
karl
Da qui si ricava che:
$t=lnx,(dt)/(dx)=1/x=e^(-t)$
Pertanto si ha:
$(dy)/(dx)=(dy)/(dt)*(dt)/(dx)$
E cioe':
(a) $(dy)/(dx)=e^(-t)*[(dy)/(dt)]$
E quindi :
(1) $(dy)/(dx)=1/x*[(dy)/(dt)]$
Derivando la (a) ancora rispetto ad x risulta:
$(d^2y)/(dx^2)=d/(dt)((dy)/(dx))(dt)/(dx)=d/(dt)[e^(-t)*(dy)/(dt)]*e^(-t)$
Ovvero:
(b) $(d^2y)/(dx^2)=[-e^(-t)*(dy)/(dt)+e^(-t)*(d^2y)/(dt^2)]*e^(-t)=e^(-2t)*[(d^2y)/(dt^2)-(dy)/(dt)]$
E quindi :
(2) $(d^2y)/(dx^2)=1/(x^2)*[(d^2y)/(dt^2)-(dy)/(dt)]$
Derivando la (b), sempre rispetto ad x,si ottiene:
$(d^3y)/(dx^3)=d/(dt)[e^(-2t)*((d^2y)/(dt^2)-(dy)/(dt))]*(dt)/(dx)$
Da cui:
$(d^3y)/(dx^3)=[-2e^(-2t)*((d^2y)/(dt^2)-(dy)/(dt))+e^(-2t)*((d^3y)/(dt^3)-(d^2y)/(dt^2))]*e^(-t)=e^(-3t)*[(d^3y)/(dt^3)-3*(d^2y)/(dt^2)+2*(dy)/(dt)]$
Ovvero:
(3)$(d^3y)/(dx^3)=1/(x^3)*[(d^3y)/(dt^3)-3*(d^2y)/(dt^2)+2*(dy)/(dt)]$
Sostituendo (1),(2) e (3) nell'equazione originaria si ottiene l'equazione a coefficienti costanti che hai indicato.
karl
effettivamente le derivate seconde e terze sono meno sceme di quanto pensassi..
grazie mille ubermensch per i suggerimenti e grazie mille karl per lo svolgimento completo... ora provo e poi vi faccio sapere.. grazie ancora a entrambi.. ciao ciao a presto Pol
Pol
perfetto... grande karl... sei un mito... tutta torna e io ho capito... grazie mille.. a tutti... bye bye.. a presto.. Pol
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