Equazione differenziale di bernoulli

[mobley]

Risolvere la seguente equazione differenziale:

\( y'(x)=5y(x)+4\surd y(x) \)

Riscrivo l'equazione come $ y'(x)=5y(x)+4y(x)^(1/2) $ . Quindi $ (y')/(y^(1/2))=(5y)/(y^(1/2))+4 $ .

Pongo $ z=y^(1/2) $ da cui $ z'=(1)/(2)y^(-1/2)y'=(1)/(2)(y')/(y^((1)/(2)))->2z'=(y')/(y^((1)/(2)) $ .

Ottengo $ 2z'=5z+4->z'=(5/2)+2 $ .

La soluzione omogenea è:

$ e^(A(x)) $ , con $ A(x)=int 5/2 dx=5/2x->ce^(5/2x) $

La soluzione particolare è:

$ e^(A(x))B(x) $ , con $ B(x)=int 2\cdot e^(-5/2x)dx= 2int e^(-5/2x)dx= 2\cdot(e^(-5/2x))/(-5/2)=-2\cdot2/5e^(-5/2x)=-4/5e^(-5/2x) $. Perciò

$ e^(5/2x)\cdot(-4/5e^(-5/2x))=-4/5e^(5/2x-5/2x)=-4/5 $

La soluzione per $z$ è:

$ ce^(5/2x)-4/5 $

Essendo allora $z=y^(1/2)$, ho che $y=z^2$ perciò la soluzione dell'equazione è:

$ y(x)=(ce^(5/2x)-4/5)^2 $

Ci sono errori?

[cooper1]

a me sembra corretta.

[mobley]

Grazie