Equazione differenziale di Bernoulli

[Daddarius1]

${ ( y'+((2x)/(1-x^2 ))y=xsqrt(1-x^2)sqrty ),( y(0)=0 ):}$
Questa equazione non ha soluzione perchè non vale il teorema di esistenza e unicità, essendoci la condizione y(xo)=0. Giusto?

[Rigel1]

Sbagliato: ha sicuramente la soluzione \(y(x) = 0\), \(x\in I := (-1,1)\).
Potrebbe averne altre (non valendo il teorema di unicità).

[Daddarius1]

Quindì ipotizzo $y$ diversa de zero e divido ambo i membri per $sqrty$. Sostituisco $sqrty$=z , e con successivi passaggi mi trovo che $sqrty = sqrt(1-x^2)x^2+ csqrt(1-x^2)$ . La conclusione e che le infinite soluzioni del problema di cauchy sono al variare di c in R?

[Rigel1]

Salvo errori di calcolo, per ogni \(c\in (-1,1)\) la funzione
\[
z_c(x) := (1-x^2)(x^2-c)^2/16,\qquad x\in (-1,1),
\]
è soluzione dell'equazione differenziale. Vedi subito che, ad esempio, per \(c\in [0,1)\) la funzione
\[
y_c(x) := \begin{cases}
0, &\text{se}\ x\in (-1, c],\\
z_c(x), &\text{se}\ x \in (c, 1),
\end{cases}
\]
è una soluzione del PdC assegnato.

[Daddarius1]

Ho un ulteriore dubbio: $xy'+2xy+2y=6xsqrty$ è un ' equazione di bernoulli? Perchè mi lascia perplesso il fatto che sono presenti due y allo stesso grado di derivazione.

[Rigel1]

\(2xy +2y = 2(x+1)y\).