Equazione differenziale di 2 ordine non omogenea.
Salve a tutti. Ho un problema con questa equazione differenziale del secondo ordine
$ y''+y=e^x + 1/(cos^3(x))$.
Io procedo normalmente andando a studiare l'equazione omogenea $ y''+y=0 $, studio le soluzioni dell' equazione di 2 grado associata $ y^2 +y=0 $ e visto che il delta è negativo ho due soluzioni nel campo complesso che sono $+i$ e $-i$.
Quindi la prima parte della soluzione dell'equazione differenziale è $ y= c1*cos(x) + c2*sin(x)$ in quanto la formula per il delta<0 è $ c1*e^(ax)*cos(bx) +c2*e^(ax)*sin(bx)$. Fino a qui dovrei trovarmi.. nulla di difficile in quanto $ z = a+ib , a=0 , b=1 $
Il problema sta nel trovare y segnato che qui scrivo come (y) (scusatemi sono nuovo nel forum).
Di solito nelle situazioni in cui c'era un f(x) composto da più funzioni es. $ y''+4y= e^x + cos(x) $ separavo lo studio di (y) studiandomi prima $e^x $, poi $ cos(x) $ e poi andavo a sommare quello che mi veniva.
Qui faccio lo stesso,sapendo che $f(x)=e^(ax)*(P1(x)*cosbx+P2(x)*sinbx)$ lo eguaglio ad $e^x$. Quindi $ a=1 , b=0 $ da cui $ z=1$ e la moltepiclità è dunque 0 in quando 1 non compare nelle soluzioni dell'equazione di 2 grado che ho studiato all'inizio.
Rifacendomi alla formula allora $(y)=x^m*e^(ax)*(P1(x)⋅cosbx+P2(x)⋅sinbx) $ ho che $m=0 , a=1, b=0$ e quindi $(y) = Ae^x$.
Ricavo derivata prima e seconda e vado a sostuire nell'equazione $y''+y=e^x $ trovandomi il valore di A e così la prima parte di (y).
Ma per la seconda parte come faccio? non so come ricondurre $1/(cos^3x)$ alla formula $e^(αx)⋅(P1(x)⋅cosbx+P2(x)⋅sinbx)$.Spero in una risposta. Se ho sbagliato tutto aiutatemi.
$ y''+y=e^x + 1/(cos^3(x))$.
Io procedo normalmente andando a studiare l'equazione omogenea $ y''+y=0 $, studio le soluzioni dell' equazione di 2 grado associata $ y^2 +y=0 $ e visto che il delta è negativo ho due soluzioni nel campo complesso che sono $+i$ e $-i$.
Quindi la prima parte della soluzione dell'equazione differenziale è $ y= c1*cos(x) + c2*sin(x)$ in quanto la formula per il delta<0 è $ c1*e^(ax)*cos(bx) +c2*e^(ax)*sin(bx)$. Fino a qui dovrei trovarmi.. nulla di difficile in quanto $ z = a+ib , a=0 , b=1 $
Il problema sta nel trovare y segnato che qui scrivo come (y) (scusatemi sono nuovo nel forum).
Di solito nelle situazioni in cui c'era un f(x) composto da più funzioni es. $ y''+4y= e^x + cos(x) $ separavo lo studio di (y) studiandomi prima $e^x $, poi $ cos(x) $ e poi andavo a sommare quello che mi veniva.
Qui faccio lo stesso,sapendo che $f(x)=e^(ax)*(P1(x)*cosbx+P2(x)*sinbx)$ lo eguaglio ad $e^x$. Quindi $ a=1 , b=0 $ da cui $ z=1$ e la moltepiclità è dunque 0 in quando 1 non compare nelle soluzioni dell'equazione di 2 grado che ho studiato all'inizio.
Rifacendomi alla formula allora $(y)=x^m*e^(ax)*(P1(x)⋅cosbx+P2(x)⋅sinbx) $ ho che $m=0 , a=1, b=0$ e quindi $(y) = Ae^x$.
Ricavo derivata prima e seconda e vado a sostuire nell'equazione $y''+y=e^x $ trovandomi il valore di A e così la prima parte di (y).
Ma per la seconda parte come faccio? non so come ricondurre $1/(cos^3x)$ alla formula $e^(αx)⋅(P1(x)⋅cosbx+P2(x)⋅sinbx)$.Spero in una risposta. Se ho sbagliato tutto aiutatemi.
Risposte
Non ho ben capito cosa fai per trovare la soluzione particolare associata al termine $e^x$. In ogni caso, il metodo di similitudine va bene fino a che hai termini polinomiali, trigonometrici ed esponenziali NON frazionari.
Qui sei costretto ad usare il metodo della variazione delle costanti (o del Wronskiano, come preferisci).
Qui sei costretto ad usare il metodo della variazione delle costanti (o del Wronskiano, come preferisci).
Per trovare la soluzione particolare di $ e^x$ uso il metodo di similitudine, sbaglio qualcosa? Mi puoi illustrare come faresti con il metodo della variazione delle costanti?
Per il termine con $e^x$ va bene il metodo di similitudine. Per quello con il coseno a denominatore devi usare la variazione delle costanti. Sai come "funziona"?
Quindi per il termine $e^x$ uso il metodo di similitudine e per $1/(cos^3x)$ uso il metodo della variazione delle variabili? Sinceramente non sapevo nemmeno cosa fosse... adesso mi sto documentando! Se hai un pò di tempo possiamo svolgerla insieme qui.
forse ho la soluzione.. vorrei confrontarmi il prima possibile. aspetto una risposta da chiunque abbia voglia di aiutarmi!
Quando vuoi posta la soluzione!
Buongiorno, scusami per ieri ma sono uscito e sono tornato tardi. Mi sono informato sul metodo di variazione delle variabili attraverso libri ed internet e penso di avere capito come si usa. Dunque come detto ieri mi studio (y) scindendo il termine $e^x$ e $1/(cos^3x)$. Per $e^x) uso il metodo di similitudine e ho che:
$(y1)= A*e^x $ e quindi facendo i calcoli viene che $(y1)= (1/2)e^x$
Adesso uso il metodo di variazione delle variabili per $1/(cos^3x)$ e quindi studio il sistema( se poi mi spieghi gentilmente come faccio ad inserire i simboli per i sistemi e le matrici)
$ t1'y1 + t2'y2 =0$
$ t1'y1' + t2'y2'= f(x)$
dunque avendo che $ y1= cosx$ e $y2= sinx$ (vedere il primo post) si ha che
$ t1'cosx + t2'sinx=0$
$ -t1'sinx + t2'cosx=1/(cos^3x)$
utilizzo cramer e ho che
$ t1'= -sinx/(cos^3x)$ e quindi $t1=int_ ((-sinx/(cos^3x)) dx $ che dovrebbe essere uguale a $ -1/(2cos^2x)
$ t2'= 1/(cos^2x)$ e quindi $t2= int_((1/(cos^2x))dx $ uguale a $tgx$
La soluzione finale dunque dovrebbe essere:
$y= c1cosx + c2sinx + (1/2)e^x -1/(2cosx) + tgx*sinx$
che ne pensi?? Mi rimane solo da fare un pò di calcoli per trovare c1 e c2 con le condizioni iniziali di cauchy e poi è finita.
$(y1)= A*e^x $ e quindi facendo i calcoli viene che $(y1)= (1/2)e^x$
Adesso uso il metodo di variazione delle variabili per $1/(cos^3x)$ e quindi studio il sistema( se poi mi spieghi gentilmente come faccio ad inserire i simboli per i sistemi e le matrici)
$ t1'y1 + t2'y2 =0$
$ t1'y1' + t2'y2'= f(x)$
dunque avendo che $ y1= cosx$ e $y2= sinx$ (vedere il primo post) si ha che
$ t1'cosx + t2'sinx=0$
$ -t1'sinx + t2'cosx=1/(cos^3x)$
utilizzo cramer e ho che
$ t1'= -sinx/(cos^3x)$ e quindi $t1=int_ ((-sinx/(cos^3x)) dx $ che dovrebbe essere uguale a $ -1/(2cos^2x)
$ t2'= 1/(cos^2x)$ e quindi $t2= int_((1/(cos^2x))dx $ uguale a $tgx$
La soluzione finale dunque dovrebbe essere:
$y= c1cosx + c2sinx + (1/2)e^x -1/(2cosx) + tgx*sinx$
che ne pensi?? Mi rimane solo da fare un pò di calcoli per trovare c1 e c2 con le condizioni iniziali di cauchy e poi è finita.
Giusto! 
"ciampax":dici serio?????
Giusto!
Sì, avevo i conti sottomano e mi viene esattamente il tuo risultato. Bravo.
grazie mille per l'aiuto... tra un pò posterò qualche domanda sulle matrici e sui sistemi lineari(dimensione e base ker(f) ,im (f) come si studiano, autovalori,autovettori, autospazi,) spero mi aiuterai come per qui, anche se li sono molto meno ferrato.
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