Equazione differenziale del tipo $y'=f(ax + by)$

[qwerty901]

Salve!
Sul libro c'è scritto che le equazioni differenziali del tipo: $y'=f(ax + by)$ si risolvono assumendo come incognita la funzione:
$z = ax + by$
dunque $y' = z$

e $y = frac{z-ax}{b}, y' = frac{z' - a}{b}$

e dunque
$frac{z' - a}{b} = f(z)$
$z' = a + b*f(z)$ (1)

Adesso non capisco come arrivare all'integrale

$y(x) = frac{z(x)-ax}{b}$

Integrando a variabili separabili la (1)
dovrebbe essere:
$z' - b*f(z) = a $
$int dz - b*int f(z)dz = int a dx$
o no?

[gugo82]

Se poni [tex]$g(z):=a+b\ f(z)$[/tex] ottieni un'equazione nella forma [tex]$z^\prime =g(z)$[/tex], quindi...

[qwerty901]

"gugo82":Se poni [tex]$g(z):=a+b\ f(z)$[/tex] ottieni un'equazione nella forma [tex]$z^\prime =g(z)$[/tex], quindi...

No , su questo c'ero.
Devo trovare la soluzione dell'equazione differenziale. Devo trovare l'integrale.
Andando a ritroso, cioè per arrivare a
$y(x) = frac{z(x)-ax}{b}$

integro a variabili separabili

$z' - b*f(z) = a $
$int dz - b*int f(z)dz = int a dx$

arrivati qua, da questa equazione deduco che $ b*int f(z)dz = b*y(x)$
Ma come si deduce? Sarà qualcosa di banale, ma mi confondo un pò

[gugo82]

Come già detto l'equazione diventa:

[tex]$z^\prime =a+b\ f(z)$[/tex],

che si integra separando le variabili:

[tex]$\int \frac{1}{a+b\ f(z)}\ \text{d} z=x+\text{cost.}$[/tex];

ergo, detta [tex]$F(z)$[/tex] una primitiva di [tex]$\tfrac{1}{a+b\ f(z)}$[/tex], la soluzione dell'equazione ausiliaria si presenta definita in forma implicita dall'equazione:

[tex]$F(z)=x+\text{cost.}$[/tex].

Se si riesce ad esplicitare la relazione precedente si ottiene la funzione incognita ausiliaria [tex]$z(x)$[/tex].
Ottenuta [tex]$z(x)$[/tex] dalla relazione:

[tex]$z(x)=a\ x+b\ y(x)$[/tex]

è possibile ricavare il valore di [tex]$y(x)$[/tex] in funzione dell'incognita ausiliaria: infatti risulta:

[tex]$y(x)=\frac{1}{b}\ z(x)-\frac{a}{b}\ x$[/tex].

[qwerty901]

"gugo82":
Ottenuta [tex]$z(x)$[/tex] dalla relazione:
[tex]$z(x)=a\ x+b\ y(x)$[/tex]

come arrivi a tale relazione?
Grazie

[gugo82]

"qwerty90":Non mi sono chiari questi passaggi.
[quote="gugo82"]

[tex]$F(z)=x+\text{cost.}$[/tex].

Se si riesce ad esplicitare la relazione precedente si ottiene la funzione incognita ausiliaria [tex]$z(x)$[/tex].

sapendo che
$f(z) = z(x)$
esplicito $z(x)$
Devo fare questa cosa semplicissima, vero?[/quote]
No.

Devi esplicitare l'integrale in forma implicita; e poi la relazione [tex]$f(z)=z(x)$[/tex] non sta scritto da nessuna parte che sia valida...

"qwerty90":[quote="gugo82"]
Ottenuta [tex]$z(x)$[/tex] dalla relazione:

[tex]$z(x)=a\ x+b\ y(x)$[/tex]

è possibile ricavare il valore di [tex]$y(x)$[/tex][...]

come arrivi a tale relazione?[/quote]
Beh, me l'hai detta tu...

"qwerty90":[...] assumendo come incognita la funzione:
$z = ax + by$

... Io ho solo "portato [tex]$y$[/tex] dall'altra parte".

***

Facciamo un esempio semplice (che si può risolvere anche con il metodo standard per le equazioni lineari).
Consideriamo l'equazione:

[tex]$y^\prime (x)=x+y(x)$[/tex].

La sostituzione è [tex]$z(x)=x+y(x)$[/tex] sicché [tex]$y^\prime (x)=z^\prime (x) -1$[/tex] e l'equazione ausiliaria è:

[tex]$z^\prime (x)=1+z(x)$[/tex].

Separando le variabili si trova:

[tex]$\frac{1}{1+z(x)}\ z^\prime (x)=1$[/tex]

cosicché, dopo un integrazione, l'integrale in forma implicita è dato da:

[tex]$\ln |1+z(x)|=x+\text{cost.}$[/tex],

ossia (visto che la costante additiva è arbitraria, passando all'esponenziale la faccio diventare una costante moltiplicativa [tex]$C$[/tex]):

[tex]$1+z(x)=C\ e^x$[/tex],

dalla quale dobbiamo cercare di determinare [tex]$z(x)$[/tex].
Ovviamente, riguardata la precedente come equazione nell'incognita [tex]$z$[/tex], essa è un'equazione algebrica di primo grado in [tex]$z(x)$[/tex] e si risolve come al solito; si ha:

[tex]$z(x)=C\ e^x -1$[/tex],

in cui la [tex]$C$[/tex] è da scegliere in base alle condizioni iniziali accoppiate all'equazione.
Dalla relazione:

[tex]$z(x)=x+y(x)$[/tex]

si ricava:

[tex]$y(x)=-x+z(x)=C\ e^x -x-1$[/tex].

Più chiaro adesso?

[qwerty901]

Chiarissimo!! Grazie mille