Equazione differenziale del second'ordine
Ciao a tutti 
Scrivo per chiedere una mano nel risolvere un'equazione differenziale di secondo ordine:)
Ora spiego il contesto : L'equazione l'ho trovata in una spiegazione di un argomento di fisica, precisamente un circuito LC. Ecco:
Considero un circuito LC in cui quindi vale
$ \epsilon_C+\epsilon_L=0 $
Sapendo che $ \epsilon_C=\frac{q}{C} $ e che $ \epsilon_L=-L\frac{di}{dt} $ ottengo
$ \frac{q}{C}=L\frac{di}{dt} $ (Specifico che q è la carica , C la capacità del condensatore, L il coefficiente di autoinduzione e i la corrente, che come potete vedere è l'unica quantità che non è costante).
Il libro mi suggerisce di procedere così differenziando entrambi i membri e dividendo per L
$ \frac{d^2i}{dt^2}=-\frac{i}{LC} $
(preciso che $ \omega_0=\frac{1}{sqrt(LC)} $ )
La soluzione mi è data subito dopo (senza il relativo svolgimento... che so benissimo potrei evitare, ma per una miglior comprensione e per evitare di imparare a memoria, preferirei capire e saper fare):
$ i(t)=Asin(\omegat+\phi) $
Per svolgere l'equazione, pensavo di procedere così:
$ \lambda^2+\lambda+\lambda_0=0 $
Quindi
ottenere $ \frac{sqrt(-4\omega_0^2)}{2} $
dato che $ \Delta<0 $ considero questo tipo di soluzione con due radici complesse e coniugate del tipo
$ \alpha+- i\beta $
Nel mio caso, la soluzione diventa $ i\omega_0 $
Ora mi trovo in difficoltà a scrivere la soluzione.
La soluzione standard, sarebbe
$ y(t)=c_1e^(\alphat)cos(\betat)+c_2e^(\alphat)sin(\betat) $
Però... io ho $ \alpha=0 $ e quindi tutti e due gli esponenziali se ne vanno ad 1 (le costanti $ c_1 $ e $ c_2 $ posso anche considerarle come A) e mi rimane $ A(cos(\betat)+sin(beta)) $ e so che $ \beta=\omega_0 $ .
Moralmente, dato che sto considerando un sistema fisico reale, io prenderei solo la parte del coseno...e quindi
$ Acos(\omega_0t) $
Volendo esprimere il tutto in funzione del seno, diventa
$ i(t)= Asin(\omega_0t+\phi) $
Secondo voi è giusto? Ha senso? Potreste aiutarmi?
Grazie mille..
Scrivo per chiedere una mano nel risolvere un'equazione differenziale di secondo ordine:)
Ora spiego il contesto : L'equazione l'ho trovata in una spiegazione di un argomento di fisica, precisamente un circuito LC. Ecco:
Considero un circuito LC in cui quindi vale
$ \epsilon_C+\epsilon_L=0 $
Sapendo che $ \epsilon_C=\frac{q}{C} $ e che $ \epsilon_L=-L\frac{di}{dt} $ ottengo
$ \frac{q}{C}=L\frac{di}{dt} $ (Specifico che q è la carica , C la capacità del condensatore, L il coefficiente di autoinduzione e i la corrente, che come potete vedere è l'unica quantità che non è costante).
Il libro mi suggerisce di procedere così differenziando entrambi i membri e dividendo per L
$ \frac{d^2i}{dt^2}=-\frac{i}{LC} $
(preciso che $ \omega_0=\frac{1}{sqrt(LC)} $ )
La soluzione mi è data subito dopo (senza il relativo svolgimento... che so benissimo potrei evitare, ma per una miglior comprensione e per evitare di imparare a memoria, preferirei capire e saper fare):
$ i(t)=Asin(\omegat+\phi) $
Per svolgere l'equazione, pensavo di procedere così:
$ \lambda^2+\lambda+\lambda_0=0 $
Quindi
ottenere $ \frac{sqrt(-4\omega_0^2)}{2} $
dato che $ \Delta<0 $ considero questo tipo di soluzione con due radici complesse e coniugate del tipo
$ \alpha+- i\beta $
Nel mio caso, la soluzione diventa $ i\omega_0 $
Ora mi trovo in difficoltà a scrivere la soluzione.
La soluzione standard, sarebbe
$ y(t)=c_1e^(\alphat)cos(\betat)+c_2e^(\alphat)sin(\betat) $
Però... io ho $ \alpha=0 $ e quindi tutti e due gli esponenziali se ne vanno ad 1 (le costanti $ c_1 $ e $ c_2 $ posso anche considerarle come A) e mi rimane $ A(cos(\betat)+sin(beta)) $ e so che $ \beta=\omega_0 $ .
Moralmente, dato che sto considerando un sistema fisico reale, io prenderei solo la parte del coseno...e quindi
$ Acos(\omega_0t) $
Volendo esprimere il tutto in funzione del seno, diventa
$ i(t)= Asin(\omega_0t+\phi) $
Secondo voi è giusto? Ha senso? Potreste aiutarmi?
Grazie mille..
Risposte
Allora, intanto si dice del secondo ordine e non di secondo grado. Poi, nel passare dalla forma estesa alla forma più usata in fisica, non puoi eliminare una costante in maniera arbitraria. Un'equazione differenziale del secondo ordine ha una soluzione generale che dipende sempre da due costanti arbitrarie. Un modo per ottenere quella forma è questo:
\[ \begin{aligned} i (t) &= a \cos (\omega_0 t) + b \sin(\omega_0 t) \\ &= \sqrt{a^2 + b^2} \left ( \frac{ a}{\sqrt{ a^2 + b^2}} \cos (\omega_0 t) + \frac{ b}{\sqrt{ a^2 + b^2}} \sin (\omega_0 t) \right ) \\ &= \sqrt{a^2 + b^2} \Big( \cos (\alpha) \cos (\omega_0 t) + \sin (\alpha) \sin (\omega_0 t) \Big ) \\ &= \sqrt{a^2 + b^2} \cos (\omega_0 t - \alpha ) \end{aligned} \]
dove \( \alpha \) è un certo angolo tale che \( \cos (\alpha) = \frac{ a}{\sqrt{ a^2 + b^2}}, \ \sin (\alpha) = \frac{ b}{\sqrt{ a^2 + b^2}} \). Ponendo \( A = \sqrt{a^2 + b^2}, \ \phi = - \alpha \), otteniamo:
\[ i(t) = A \cos (\omega_0 t + \phi ) \]
che è la forma cercata.
\[ \begin{aligned} i (t) &= a \cos (\omega_0 t) + b \sin(\omega_0 t) \\ &= \sqrt{a^2 + b^2} \left ( \frac{ a}{\sqrt{ a^2 + b^2}} \cos (\omega_0 t) + \frac{ b}{\sqrt{ a^2 + b^2}} \sin (\omega_0 t) \right ) \\ &= \sqrt{a^2 + b^2} \Big( \cos (\alpha) \cos (\omega_0 t) + \sin (\alpha) \sin (\omega_0 t) \Big ) \\ &= \sqrt{a^2 + b^2} \cos (\omega_0 t - \alpha ) \end{aligned} \]
dove \( \alpha \) è un certo angolo tale che \( \cos (\alpha) = \frac{ a}{\sqrt{ a^2 + b^2}}, \ \sin (\alpha) = \frac{ b}{\sqrt{ a^2 + b^2}} \). Ponendo \( A = \sqrt{a^2 + b^2}, \ \phi = - \alpha \), otteniamo:
\[ i(t) = A \cos (\omega_0 t + \phi ) \]
che è la forma cercata.
Chiedo scusa per l'imbarazzante errore nel nome... ahaha provvedo subito a cambiarlo.
Secondo, ti ringrazio moltissimo per la risposta.
E' molto chiara.
Grazie!
Secondo, ti ringrazio moltissimo per la risposta.
E' molto chiara.
Grazie!
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