Equazione differenziale del secondo ordine semplice
Ciao gente, ho un piccolo problema con questa equazione: $y'' + 3y' + 2y = x*e^(2x)$
Premetto che ho già tentato diverse volte di svolgerla... semplicemente non so come procedere col prodotto fra un polinomio e un'esponenziale a secondo membro.
Chi ha un aiuto per me?
Premetto che ho già tentato diverse volte di svolgerla... semplicemente non so come procedere col prodotto fra un polinomio e un'esponenziale a secondo membro.
Chi ha un aiuto per me?
Risposte
te come la risolveresti?...
Hai provato col metodo di "variazione delle costanti"?...
Hai provato col metodo di "variazione delle costanti"?...
"fu^2":
te come la risolveresti?...
Hai provato col metodo di "variazione delle costanti"?...
A sentimento mi verrebbe da unire le soluzioni della x con quelle dell'esponenziale ma la derivata non è lineare rispetto alla moltiplicazione, quindi non saprei...
Il metodo di variazione delle costanti sinceramente non ho capito quale sia. Perché se si tratta di trovare dei coefficienti per un polinomio di primo grado moltiplicato per un'esponenziale, allora no, non l'ho provato.
Dunque, ora mi torna la soluzione, scrivo i passaggi perché avrei qualche cosa da chiedere:
Cerco soluzioni particolari della forma:
$y = (ax + b)e^(2x)$
di conseguenza:
$y' = (2ax + 2b +a)*e^(2x)$
$y'' = (4ax + 4a + 4b)*e^(2x)$
sostituendo nell'equazione:
$e^(2x)*(4ax + 4a +4b) +3e^(2x)*(2ax + 2b + a) +2e^(2x)*(ax + b) = xe^(2x)$
$e^(2x)*(12ax + 7a + 12b) = xe^(2x)$$
da cui uguagliando i termini di pari grado trovo che
$12ax = b => a= 1/12
$7a + 12b = 0 => b= -7/144$$
quindi una soluzione particolare è $(1/12x -7/144)*e^(2x)$ che va a sommarsi all'integrale generale dell'omogenea per trovare l'integrale generale dell'equazione completa.
Ora, io non pensavo fosse possibile usare questa tecnica (che io usavo per risolvere quelle con polinomio al termine noto) anche quando questo moltiplica un'altra funzione!
Cerco soluzioni particolari della forma:
$y = (ax + b)e^(2x)$
di conseguenza:
$y' = (2ax + 2b +a)*e^(2x)$
$y'' = (4ax + 4a + 4b)*e^(2x)$
sostituendo nell'equazione:
$e^(2x)*(4ax + 4a +4b) +3e^(2x)*(2ax + 2b + a) +2e^(2x)*(ax + b) = xe^(2x)$
$e^(2x)*(12ax + 7a + 12b) = xe^(2x)$$
da cui uguagliando i termini di pari grado trovo che
$12ax = b => a= 1/12
$7a + 12b = 0 => b= -7/144$$
quindi una soluzione particolare è $(1/12x -7/144)*e^(2x)$ che va a sommarsi all'integrale generale dell'omogenea per trovare l'integrale generale dell'equazione completa.
Ora, io non pensavo fosse possibile usare questa tecnica (che io usavo per risolvere quelle con polinomio al termine noto) anche quando questo moltiplica un'altra funzione!
Ora, io non pensavo fosse possibile usare questa tecnica (che io usavo per risolvere quelle con polinomio al termine noto) anche quando questo moltiplica un'altra funzione!
ll fatto che tu lo possa fare è proprio un caso specifico, i casi in cui puoi usare il metodo dela somigianza sono questi:
http://www1.mate.polimi.it/~bramanti/co ... lianza.pdf
Ok, ora mi è chiaro, mi salvo quel file! Grazie a tutti.
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